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être, la somme des probabilités obtenues pour les diverses valeurs possibles de $n,$ depuis zéro jusqu’à $\mathrm {N} ,$ est bien égale à $1,$ puisque la somme des $\mathrm {P} _{n}$ n’est autre chose que le développement suivant la formule du binome de

$\left({\frac {1}{m}}+1-{\frac {1}{m}}\right)^{\mathrm {N} },$

c’est à dire identiquement l’unité.

On vérifierait aisément aussi que $\mathrm {P} _{n}$ est maximum pour une valeur de $n$ égale au plus grand entier contenu dans ${\frac {\mathrm {N} +1}{m}},$ c’est à dire précisément égale au nombre moyen $\nu ={\frac {\mathrm {N} }{m}}$ de coups par intervalle si ce nombre est entier. Ce résultat pouvait être aisément prévu puisque la distribution la plus probable des $\mathrm {N}$ coups entre $m$ intervalles équivalents par définition est évidemment la distribution uniforme à raison de $\nu$ par intervalle.

Ce qui intéresse le joueur, ce sont précisément les variations autour de cette moyenne, variations dont la formule (1) nous donne la probabilité. C’est de ces variations que dépend son bénéfice ou sa perte.

La formule peut se mettre sous une forme plus simple quand on suppose que la moyenne $\nu$ correspond à un nombre $m$ très grand d’intervalles. On trouve aisément comme forme limite de (1) pour $m$ très grand :

(2)

$\mathrm {P} _{n}=e^{-\nu }{\frac {\nu ^{n}}{n!}}.$