en supposant l’origine placée à l’infini. L’égalité de la force attractive et de la force centrifuge donne
![{\displaystyle m\omega ^{2}r={\frac {\mathrm {A} }{r^{n+1}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa5f37c7fe0b5c805884bf689a22890489493f94)
D’où
![{\displaystyle \mathrm {U} =-{\frac {m\omega ^{2}r^{2}}{n}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdb02d7b3f51a4ec05429d20e4f471d570c2fd57)
D’autre part, l’énergie cinétique a pour valeur
![{\displaystyle \mathrm {T} ={\frac {m\omega ^{2}r^{2}}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a323e7baf1ba831dac5d858c610e32b720dcbb8)
Nous appliquerons l’hypothèse de M. Sommerfeld sous la forme suivante : L’action correspondant à une période
de révolution de l’électron doit être égale à
M. Sommerfeld ayant utilisé indifféremment les deux valeurs
et
L’équation
![{\displaystyle \int _{0}^{\tau }(\mathrm {T-U} )dt={\frac {h}{4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f45ef9f1387a664882f11ee8b8113644d31f38a)
donne
![{\displaystyle m\omega ^{2}r^{2}\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{n}}\right){\frac {2\pi }{\omega }}={\frac {h}{4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7af2dc0e2d5e5acd8373f6fbfeb7230ecccff1b5)
ou
![{\displaystyle m\omega r^{2}={\frac {h}{8\pi }}{\frac {2n}{n+2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a87d05b1a97ab57a86791de243415c760816e58)