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que la transformation qui a pour axe $\Omega$ et dans laquelle $MN$ correspond à $MN'$ peut être définie au moyen du cycle $K$ et du point $P$. Si maintenant on remarque que $P$ est le pôle de la droite $\Omega$ relativement au cycle $K$, on

Fig. 4.

voit que la tangente $RS'$ est la réciproque de $SR$ ; les deux couples de semi-droites réciproques $MN$ et $MN'$, $RS$ et $RS'$ sont deux tangentes au cycle $K$, ce qui démontre la proposition énoncée.

12. La transformation par semi-droites réciproques est aussi caractérisée par les deux propriétés suivantes :

Deux semi-droites réciproques se coupent sur l’axe de transformation ; deux couples de semi-droites réciproques sont tangents à un même cycle.^[1]

Il est clair que la transformation est entièrement définie quand on se donne l’axe de transformation et deux semi-droites réciproques $D$ et $D'$. Pour obtenir la réciproque d’une semi-droite quelconque $\Delta$, que l’on construise le cycle tangent à $D$, $D'$ et $\Delta$, et que, par le point $M$ où $\Delta$ coupe l’axe de transformation, on mène la

1. La transformation par rayons vecteurs réciproques est également caractérisée par les deux propriétés suivantes :

   Deux points réciproques sont situes sur une droite passant par le pôle de transformation ;

   Deux couples de points réciproques sont situes sur un même cercle.