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joignons le point de contact $A$ au point $P$, et, au point $A'$ où la droite ainsi obtenue rencontre le cycle, menons la tangente $A'B'$ ; menons enfin, par le point $M$ où la semi-droite donnée coupe la droite fixe $\Omega$, une semi-droite $MN'$ parallèle à $A'B'$.

$MN'$ correspond ainsi à $MN$, et il est clair, en examinant les constructions effectuées, que $MN$ correspond réciproquement à $MN'$ ; on dit que ces deux semi-droites sont réciproques.

Il résulte évidemment de ce qui précède que :

1^o Deux semi-droites réciproques se coupent sur la droite $\Omega$ que l’on appelle l’axe de transformation ;

2^o Des semi-droites parallèles ont pour réciproques des semi-droites parallèles.

10. Si, du point $P$, on mène des tangentes au cycle $K$, on voit que les semi-droites parallèles à ces tangentes sont leurs réciproques à elles-mêmes. Il y a donc deux séries de semi-droites parallèles qui se transforment en elles-mêmes ; ces semi-droites font des angles égaux avec l’axe de transformation. Il est toutefois à remarquer que ces semi-droites ne sont réelles que si le point $P$ est extérieur au cycle $K$.

11. Théorème. – Deux couples quelconques de semi-droites réciproques sont tangents à un même cycle.

Soient, en effet, $\Omega$ l’axe de transformation, $MN$ et $MN'$ deux semi-droites réciproques, $SK$ une semi-droite quelconque du plan (fig. 4).

Construisons le cycle qui touche les semi-droites $MN$, $MN'$ et $SR$ ; menons la droite $NN'$ qui joint les points de contact de $MN$ et de $MN'$, et désignons par $P$ le point où cette droite coupe la perpendiculaire abaissée du point $O$ sur l’axe $\Omega$. Il est clair, d’après ce qui précède,