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perpendiculaire à l’axe, il est clair que l’on a

$T^{\prime 2}=p^{2}+(D'-d')^{2}-(R'-r')^{2}$

Or les formules données plus haut donnent aisément

${\begin{aligned}D'-d'&={\frac {(D-d)\left(\alpha ^{2}+1\right)-2\alpha (R-r)}{1-\alpha ^{2}}}\\R'=r'&={\frac {2\alpha (D-d)-\left(\alpha ^{2}+1\right)(R-r)}{1-\alpha ^{2}}}\end{aligned}}$

Substituant ces valeurs dans l’expression précédente, il viendra, toutes réductions faites,

$T^{\prime 2}=p^{2}+(D-d)^{2}-(R-r)^{2}=T^{2}$

ce qui démontre la proposition énoncée.^[1]

APPLICATIONS DE LA MÉTHODE.

16. Soient trois cycles $K$, $K'$ et $K''$ ayant respectivement pour centre les points $O$, $O'$ et $O''$. Soient $P''$ le centre de similitude des cycles $O$ et $O'$, $P'$ le centre de similitude des cycles $O$ et $O''$. Supposons que la droite $P'P''$ ne coupe pas le centre $O$ ; en prenant cette droite pour axe de transformation, nous pourrons toujours, en choisissant convenablement le module de la transformation, transformer le cycle $O$ en un point $\omega$. Les deux tangentes $P''A$ et $P''B$ auront pour transformées les semi-droites opposées déterminées par les points $P''$ et $\omega$ ; le cycle $K'$, étant tangent à $P''A$ et $P''B$, aura pour

1. Relativement à la transformation par rayons vecteurs réciproques, le théorème analogue est le suivant : L’angle sous lequel se coupent deux cercles est égal à l’angle sous lequel se coupent les cercles correspondants.

   Ce théorème s’étend à deux courbes quelconques, et de même dans la transformation par semi-droites réciproques :

   Si une semi-droite $\Delta$ touche deux courbes aux deux points $a$ et $b$, et si la semi-droite réciproque $\Delta '$ touche les courbes transformées aux points $a'$ et $b'$, les deux longueurs ab et $a'b'$ sont égales.