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orthogonalement le cycle donné. Ce cercle coupe la droite $OP$ en deux points $A$ et $B$; on prouvera aisément qu’il existe une transformation telle que les tangentes au cycle $K$ aient pour réciproques les semi-droites qui se croisent au point $A$. Il existe également une autre transformation dans laquelle le point B est le réciproque du cycle $K$.

2^o Une transformation étant définie par l’axe de transformation $\Omega$ et par le module $\alpha$, il y existe une infinité de cycles qui ont pour transformés des points ; ils sont définis par la relation

${\frac {R}{D}}={\frac {2\alpha }{\alpha ^{2}+1}}$

Leur propriété caractéristique est que leur rayon varie proportionnellement à la distance de leur centre à l’axe ; elle présente une grande importance dans l’application de la transformation par semi-droites réciproques à la théorie des anticaustiques par réfraction.

15. Théorème. – La distance tangentielle de deux cycles est égale à la distance tangentielle des deux cycles correspondants.

Considérons, en effet, deux cycles; désignons respectivement par $R$ et $r$ leurs rayons, par $D$ et $d$ les distances de leur centre à l’axe de transformation, par $p$ la projection sur cet axe de la droite qui joint leurs centres, et par $T$ leur distance tangentielle; on aura évidemment

$T^{2}=p^{2}+(D-d)^{2}-(R-r)^{2}$

Soient de même $R'$ et $r'$ les rayons des cycles transformés, $D'$ et $d'$ les distances de leurs centres à l’axe, et $T'$ leur distance tangentielle. Si l’on remarque que deux cycles réciproques ont leurs centres sur une même