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D’UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE.

d’où l’on tirera par conséquent les valeurs $\mathrm {Z_{1},Z_{2},Z_{3}} ,\ldots ,$ en substituant à la place de $a$ ses valeurs $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots .$

10. De tout ceci l’on peut déduire le théorème général suivant ; si l’on a l’équation

$y_{m}+\mathrm {A} y_{m-1}+\mathrm {B} y_{m-2}+\mathrm {C} y_{m-3}+\mathrm {D} y_{m-4}+\mathrm {E} y_{m-5}+\ldots =\mathrm {X} ,$

où les indices des $y$ dénotent leurs places, que l’on cherche toutes les racines $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},\ldots$ de l’équation

$a^{5}+\mathrm {A} a^{4}+\mathrm {B} a^{3}+\mathrm {C} a^{2}+\mathrm {D} a+\mathrm {E} =0,$

et l’on aura généralement

${\begin{aligned}y_{m}=\,&\mathrm {F} a_{1}^{m}\left(\mathrm {L} +\int {\frac {\mathrm {X} }{a_{1}^{m+1}}}\right)+\mathrm {G} a_{2}^{m}\left(\mathrm {L} +\int {\frac {\mathrm {X} }{a_{2}^{m+1}}}\right)+\mathrm {H} a_{3}^{m}\left(\mathrm {L} +\int {\frac {\mathrm {X} }{a_{3}^{m+1}}}\right)\\&+\mathrm {I} a_{4}^{m}\left(\mathrm {L} +\int {\frac {\mathrm {X} }{a_{4}^{m+1}}}\right)+\mathrm {K} a_{5}^{m}\left(\mathrm {L} +\int {\frac {\mathrm {X} }{a_{5}^{m+1}}}\right)+\ldots ,\end{aligned}}$

et, dans le cas où $\mathrm {X}$ est constant,

${\begin{aligned}y_{m}&=\mathrm {L} \left(\mathrm {F} a_{1}^{m}+\mathrm {G} a_{2}^{m}+\mathrm {H} a_{3}^{m}+\mathrm {I} a_{4}^{m}+\mathrm {K} a_{5}^{m}+\ldots \right)\\&+\mathrm {X} \left(\mathrm {F} {\frac {a_{1}^{m}-1}{a_{1}-1}}+\mathrm {G} {\frac {a_{2}^{m}-1}{a_{2}-1}}+\mathrm {H} {\frac {a_{3}^{m}-1}{a_{3}-1}}+\mathrm {I} {\frac {a_{4}^{m}-1}{a_{4}-1}}+\mathrm {K} {\frac {a_{5}^{m}-1}{a_{5}-1}}+\ldots \right).\end{aligned}}$

Si $\mathrm {X} =0,$ on pourra supprimer la constante $\mathrm {L} ,$ et l’on aura plus simplement

$y_{m}=\mathrm {F} a_{1}^{m}+\mathrm {G} a_{2}^{m}+\mathrm {H} a_{3}^{m}+\mathrm {I} a_{4}^{m}+\mathrm {K} a_{5}^{m}+\ldots ,$

formule connue pour l’expression du terme général de la suite des $y,$ telle que

$y_{m}+\mathrm {A} y_{m-1}+\mathrm {B} y_{m-2}+\mathrm {C} y_{m-3}+\mathrm {D} y_{m-4}+\mathrm {E} y_{m-5}+\ldots =0,$

ce qui n’est autre chose qu’une suite récurrente, dont l’échelle de relation est $\mathrm {-A-B-C-D-E} -\ldots .$