et l’on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}y=&{\frac {\mathrm {P} p'+a\mathrm {Q} q'-b}{a}},\\x=&{\frac {\mathrm {P} 'p'+a\mathrm {Q} 'q'+b\beta -a\delta }{2a\alpha }}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d29d81301bb3d4924d74b36757cf4b65b04f02f2)
donc, à moins que les numérateurs de ces deux fractions ne soient divisibles exactement par leurs dénominateurs, les inconnues
et
ne pourront être des nombres entiers.
Supposons
![{\displaystyle {\begin{aligned}y'=&{\frac {\mathrm {P} '(p'-1)+a\mathrm {Q} 'q'}{a}},\\x'=&{\frac {\mathrm {P} '(p'-1)+a\mathrm {Q} 'q'}{2a\alpha }},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e9707dfcd0dd5f9fd4ed132b0a4957b466c1f4a)
et nous aurons
![{\displaystyle {\begin{aligned}y=&{\frac {\mathrm {P} -b}{a}}+y',\\x=&{\frac {\mathrm {P} '+b\beta -a\delta }{2a\alpha }}+x'.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50d19b495ffe914b6081c89839a6d1dcfad9faaa)
Or je dis que l’on peut toujours prendre l’exposant
dans les valeurs de
et
tel que
et
soient des nombres entiers.
Pour cela on décomposera le nombre
en ses facteurs premiers, en sorte que l’on ait
étant des nombres premiers ; ensuite on divisera
par
et l’on nommera le reste
on divisera de même
et l’on nommera le reste
et ainsi de suite ; ces restes étant trouvés, on fera
égal à un multiple quelconque de
car, par ce que nous avons démontré plus haut (no 21), il est clair que
et
seront divisibles par
de plus il est facile de voir par les formules du no 16 que
sera aussi divisible par
à cause que
est pair ; par conséquent
et
seront nécessairement des nombres entiers.
Donc, si les quantités
et
sont des nombres entiers, on pourra trouver une infinité de valeurs de
et de
en nombres