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et l’on aura

${\begin{aligned}y=&{\frac {\mathrm {P} p'+a\mathrm {Q} q'-b}{a}},\\x=&{\frac {\mathrm {P} 'p'+a\mathrm {Q} 'q'+b\beta -a\delta }{2a\alpha }}\,;\end{aligned}}$

donc, à moins que les numérateurs de ces deux fractions ne soient divisibles exactement par leurs dénominateurs, les inconnues $x$ et $y$ ne pourront être des nombres entiers.

Supposons

${\begin{aligned}y'=&{\frac {\mathrm {P} '(p'-1)+a\mathrm {Q} 'q'}{a}},\\x'=&{\frac {\mathrm {P} '(p'-1)+a\mathrm {Q} 'q'}{2a\alpha }},\end{aligned}}$

et nous aurons

${\begin{aligned}y=&{\frac {\mathrm {P} -b}{a}}+y',\\x=&{\frac {\mathrm {P} '+b\beta -a\delta }{2a\alpha }}+x'.\end{aligned}}$

Or je dis que l’on peut toujours prendre l’exposant $m,$ dans les valeurs de $p'$ et $q',$ tel que $x'$ et $y'$ soient des nombres entiers.

Pour cela on décomposera le nombre $x$ en ses facteurs premiers, en sorte que l’on ait $\alpha =2^{s}m'm''m'''\ldots ,$ $m',m'',m''',\ldots$ étant des nombres premiers ; ensuite on divisera $a^{\frac {m'-1}{2}}$ par $m',$ et l’on nommera le reste $r'\,;$ on divisera de même $a^{\frac {m''-1}{2}}$ et l’on nommera le reste $r'',$ et ainsi de suite ; ces restes étant trouvés, on fera $m$ égal à un multiple quelconque de $2^{s+1}(m'-r')(m''-r'')(m'''-r''')\ldots \,;$ car, par ce que nous avons démontré plus haut (n^o 21), il est clair que $p'-1$ et $q'$ seront divisibles par $2\alpha \,;$ de plus il est facile de voir par les formules du n^o 16 que $p'-1$ sera aussi divisible par $a,$ à cause que $m$ est pair ; par conséquent $x'$ et $y'$ seront nécessairement des nombres entiers.

Donc, si les quantités ${\frac {\mathrm {P} -b}{a}}$ et ${\frac {\mathrm {P} '+b\beta -a\delta }{2a\alpha }}$ sont des nombres entiers, on pourra trouver une infinité de valeurs de $x$ et de $y$ en nombres