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effet de la forme de $t^{2}-au^{2},$ et qu’on ait trouvé en même temps deux nombres $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ tels, que $\mathrm {R} =\mathrm {P} ^{2}-a\mathrm {Q} ^{2}\,;$ en ce cas le problème sera résoluble eh nombres, et il pourra même l’être de plusieurs manières ; c’est ce que nous allons examiner.

Il est d’abord clair que, puisque

$\mathrm {R} =\mathrm {P} ^{2}-a\mathrm {Q} ^{2}=t^{2}-au^{2},$

il n’y aura qu’à supposer $t=\mathrm {P}$ et $u=\mathrm {Q} ,$ ce qui donnera

$a+b=\mathrm {P} ,\qquad 2\alpha x+\beta y+\delta =\mathrm {Q} ,$

et, par conséquent,

$y={\frac {\mathrm {P} -b}{a}},\qquad x={\frac {\mathrm {Q} -\delta }{2\alpha }}-{\frac {\beta (\mathrm {P} -b)}{2\alpha a}}.$

Or je remarque :

1^o Que les nombres $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ peuvent être pris positivement ou négativement à volonté, ce qui donnera quatre solutions différentes ;

2^o Si le nombre $\mathrm {R}$ est le produit de deux ou de plusieurs nombres de la forme de $\mathrm {P} ^{2}-a\mathrm {Q} ^{2},$ il sera aussi plusieurs fois de cette même forme ; de sorte qu’on pourra trouver différentes valeurs de $\mathrm {P}$ et de $\mathrm {Q} .$

En effet, si $\mathrm {R}$ est le produit de deux facteurs tels que $p^{2}-aq^{2}$ et $p'^{2}-aq'^{2},$ on aura (n^o 5)

$\mathrm {R} =\left(pp'\pm aqq'\right)^{2}-a(pq'\pm qp')^{2}\,;$

ainsi on pourra supposer

$\mathrm {P} =pp'+aqq'\quad {\text{et}}\quad \mathrm {Q} =pq'+qp',$

ou

$\mathrm {P} =pp'-aqq'\quad {\text{et}}\quad \mathrm {Q} =pq'-qp'.$

En général, si $\mathrm {R}$ est exprimé par $\mathrm {A} ^{m}\mathrm {B} ^{n}\mathrm {C} ^{r}\mathrm {D} ^{s}\ldots ,\mathrm {A,B,C,D} ,\ldots$ étant des nombres de la forme de $\mathrm {P} ^{2}-a\mathrm {Q} ^{2},$ mais qui ne soient qu’une fois de cette forme, le nombre $\mathrm {R}$ sera (comme je l’ai démontré ailleurs) de la même forme autant de fois, ni plus ni moins, qu’il y a d’unités dans la moitié de ce nombre $(m+1)(n+1)(r+1)(s+1)\ldots$ s’il est pair, ou dans la moitié de ce même nombre augmenté de l’unité s’il, est impair. Ainsi les quantités $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ auront chacune autant de valeurs dif-