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Or je dis d’abord que $m$ ne saurait être un nombre pair ; car, soit $m=2n,$ on aura

$\left(t\pm u{\sqrt {a}}\right)^{2}=\left(p\pm q{\sqrt {a}}\right)^{2n},$

et, extrayant la racine carrée,

$t\pm u{\sqrt {a}}=\pm \left(p\pm q{\sqrt {a}}\right)^{n}\,;$

or $\left(p\pm q{\sqrt {a}}\right)^{n}$ se réduit à cette forme : $p'\pm q'{\sqrt {a}},$ en faisant (n^o 15)

${\begin{aligned}p'=&{\frac {\left(p+q{\sqrt {a}}\right)^{n}+\left(p-q{\sqrt {a}}\right)^{n}}{2}},\\q'=&{\frac {\left(p+q{\sqrt {a}}\right)^{n}-\left(p-q{\sqrt {a}}\right)^{n}}{2{\sqrt {a}}}}\,;\end{aligned}}$

donc, puisque $t$ et $u$ sont, par hypothèse, des nombres positifs, et que $p'$ et $q'$ le sont aussi, on aura $t=p'$ et $u=q'\,;$ mais, à cause de $p^{2}-aq^{2}=1,$ on aura aussi $p'^{2}-aq'^{2}-=1\,;$ donc on aurait $t^{2}-au^{2}=1,$ ce qui est contradictoire ; donc $m$ doit nécessairement être un nombre impair.

Soit donc $m=2n+1,$ et l’on aura

$\left(t\pm u{\sqrt {a}}\right)^{2}=\left(p\pm q{\sqrt {a}}\right)^{2n}\left(p\pm q{\sqrt {a}}\right)\,;$

d’où l’on voit que $p\pm q{\sqrt {a}}$ doit être un carré ; or, quelle que puisse être la racine carrée de $p\pm q{\sqrt {a}},$ il est clair, à cause de la quantité irrationnelle ${\sqrt {a}}$, qu’elle ne peut être que de cette forme $r\pm s{\sqrt {a}},$ de sorte que l’on aura

$p\pm q{\sqrt {a}}=\left(r\pm s{\sqrt {a}}\right)^{2}=r^{2}+as^{2}\pm 2rs{\sqrt {a}}\,;$

et, par conséquent,

$p=r^{2}+as^{2}\quad {\text{et}}\quad q=2rs.$

Ainsi, à moins que les quantités $p$ et $q$ ne soient de cette forme, il est impossible que l’équation $t^{2}-au^{2}=-1$ ait lieu ; or, connaissant les valeurs de ces quantités, il est facile de vérifier si elles sont de la forme dont il s’agit ; car, premièrement, il faudra que $q$ soit un nombre pair ;