Or je dis d’abord que
ne saurait être un nombre pair ; car, soit
on aura
![{\displaystyle \left(t\pm u{\sqrt {a}}\right)^{2}=\left(p\pm q{\sqrt {a}}\right)^{2n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b0dd7a44634118e75361c14f2653dc7313c8c19)
et, extrayant la racine carrée,
![{\displaystyle t\pm u{\sqrt {a}}=\pm \left(p\pm q{\sqrt {a}}\right)^{n}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fec1c16015caa9df79110b2d304114599e63f67)
or
se réduit à cette forme :
en faisant (no 15)
![{\displaystyle {\begin{aligned}p'=&{\frac {\left(p+q{\sqrt {a}}\right)^{n}+\left(p-q{\sqrt {a}}\right)^{n}}{2}},\\q'=&{\frac {\left(p+q{\sqrt {a}}\right)^{n}-\left(p-q{\sqrt {a}}\right)^{n}}{2{\sqrt {a}}}}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce53abadc9fda6ef40ef393e729d94c6cb607051)
donc, puisque
et
sont, par hypothèse, des nombres positifs, et que
et
le sont aussi, on aura
et
mais, à cause de
on aura aussi
donc on aurait
ce qui est contradictoire ; donc
doit nécessairement être un nombre impair.
Soit donc
et l’on aura
![{\displaystyle \left(t\pm u{\sqrt {a}}\right)^{2}=\left(p\pm q{\sqrt {a}}\right)^{2n}\left(p\pm q{\sqrt {a}}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20d9f251c4771c7cb211759add1ef1301f6aa7c3)
d’où l’on voit que
doit être un carré ; or, quelle que puisse être la racine carrée de
il est clair, à cause de la quantité irrationnelle
, qu’elle ne peut être que de cette forme
de sorte que l’on aura
![{\displaystyle p\pm q{\sqrt {a}}=\left(r\pm s{\sqrt {a}}\right)^{2}=r^{2}+as^{2}\pm 2rs{\sqrt {a}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe72c73d29f4cce9e0ed242f07f67ebf595b5cdb)
et, par conséquent,
![{\displaystyle p=r^{2}+as^{2}\quad {\text{et}}\quad q=2rs.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/942ea48f5b401860eeda586268282346c8b14ec3)
Ainsi, à moins que les quantités
et
ne soient de cette forme, il est impossible que l’équation
ait lieu ; or, connaissant les valeurs de ces quantités, il est facile de vérifier si elles sont de la forme dont il s’agit ; car, premièrement, il faudra que
soit un nombre pair ;