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et que $\mathrm {R}$ soit un nombre premier, alors on parviendra toujours à cette équation

$-1=p^{2}-aq^{2},$

comme nous l’avons vu dans l’Exemple III ; de sorte qu’on en pourra conclure d’abord que tout nombre qui sera de la forme de $x^{2}-ay^{2}$ sera aussi de la forme de $ay'^{2}-x'^{2}.$

26. Remarque II. — Supposons maintenant que l’on ait l’équation

$t^{2}-au^{2}=-1\,;$

en prenant les carrés, on aura

$(t^{2}+au^{2})^{2}-a(2tu)=1,$

d’où l’on voit que $t^{2}+au^{2}$ est une des valeurs de $x$ qui satisfont à l’équation

$x^{2}-ay^{2}=1,$

et que $2tu$ est la valeur correspondante de $y\,;$ mais nous avons démontré (n^o 17) que toutes les valeurs de $x$ et de $y$ qui satisfont à cette équation sont renfermées dans ces formules :

${\begin{aligned}x=&{\frac {\left(p+q{\sqrt {a}}\right)^{m}+\left(p-q{\sqrt {a}}\right)^{m}}{2}},\\y=&{\frac {\left(p+q{\sqrt {a}}\right)^{m}-\left(p-q{\sqrt {a}}\right)^{m}}{2{\sqrt {a}}}},\end{aligned}}$

$m$ étant un nombre quelconque positif, et $p,q$ étant les plus petites valeurs qui satisfassent à la même équation $x^{2}-ay^{2}=1\,;$ donc il faudra que l’on ait

${\begin{aligned}t^{2}+au^{2}=&{\frac {\left(p+q{\sqrt {a}}\right)^{m}+\left(p-q{\sqrt {a}}\right)^{m}}{2}},\\2tu=&{\frac {\left(p+q{\sqrt {a}}\right)^{m}-\left(p-q{\sqrt {a}}\right)^{m}}{2{\sqrt {a}}}},\end{aligned}}$

équations qui se réduisent à celle-ci :

$\left(t\pm u{\sqrt {a}}\right)^{2}=\left(p\pm q{\sqrt {a}}\right)^{m}.$