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quantité $\mathrm {R}$ a des signes différents, le produit de ces deux équations sera, en prenant le signe $+,$

$(xx'+ayy')^{2}-a(xy'+yx')^{2}=-\mathrm {R} ^{2}\,;$

de sorte qu’en divisant par $\mathrm {A} ^{2}$ on aura

$p^{2}-aq^{2}=-1\,;$

d’où l’on voit que les valeurs trouvées de $p$ et $q$ ne satisfont pas à l’équation proposée ; mais en prenant le carré de l’équation $p^{2}-aq^{2}=-1,$ on aura

$(p^{2}+aq^{2})^{2}-a(2pq)^{2}=-1,$

de sorte que les valeurs de $x$ et de $y$ qui résolvent le problème sont

$x=p^{2}+aq^{2}\quad {\text{et}}\quad y=2pq,$

savoir

$x=158\ 070\ 671\ 936\ 249\quad {\text{et}}\quad y=15\ 140\ 424\ 455\ 100,$

et ces valeurs sont en même temps les plus petites qui satisfassent à l’équation $x^{2}-109y^{2}=1,$ comme on peut facilement s’en convaincre en poussant la série des fractions ${\frac {1}{0}},{\frac {10}{1}},\ldots ,$ jusqu’à ce que l’on en trouve une qui soit formée de ces mêmes nombres, et en calculant toutes les valeurs de la formule $x^{2}-ay^{2}$ qui répondent à ces mêmes fractions.

Ces exemples sont suffisants pour faire connaître l’usage et l’esprit de nos méthodes ; nous ajouterons seulement quelques remarques qui pourront mériter l’attention des Géomètres.

Remarques.

25. Remarque I. — En examinant les valeurs de $\mathrm {R}$ des deux premiers Exemples, on voit que dans le premier les mêmes nombres se trouvent successivement avec les signes $+$ et $-,$ au lieu que dans le second, les nombres qui ont le signe $+$ sont tous différents de ceux qui ont le signe $-.$