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pour $y$ dans l’équation $x^{2}-109y^{2}=\mathrm {R} ,$ j’aurai

${\begin{array}{rcrcr}x&\qquad &y&\qquad &\mathrm {R} \\1&&0&&1\\10&&1&&-9\\21&&2&&5\\73&&7&&-12\\94&&9&&7\\261&&25&&-4\\1138&&109&&15\\1399&&134&&-3\\9532&&913&&3\\\vdots \ \ &&\vdots \,\ &&\vdots \end{array}}$

Ici il faudrait pousser la série assez loin pour trouver les valeurs de $x$ et de $y$ qui donnent $\mathrm {R} =1$ ; ainsi il vaudra mieux se servir des méthodes des n^os 6 et suiv.

Pour cela j’observe qu’il y a deux suppositions, dont l’une donne $\mathrm {R} =3,$ et l’autre $\mathrm {R} =-3\,;$ de sorte qu’à cause que $3$ est un nombre premier, on pourra faire usage de la méthode des n^os 6 et 12.

J’aurai donc

$a=109,\quad \mathrm {R} =3,\quad x=1399,\quad y=134,\quad x'=9532,\quad y'=913\,;$

donc

$xy'+yx'=2554575,$

qui, étant divisible par $3,$ j’aurai d’abord

$q={\frac {2554575}{3}}=851525\,;$

ensuite

$xx'+ayy'=26670546,$

qui, étant aussi divisé par $3,$ donnera

$p={\frac {26670546}{3}}=8890182.$

Or, comme dans les équations $x^{2}-ay^{2}=\mathrm {R}$ et $x'^{2}-ay'^{2}=-\mathrm {R} ,$ la