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sant deux nombres $p$ et $q$ qui satisfassent à l’équation $1=p^{2}-fq^{2},$ on pourra toujours en trouver deux autres, et même une infinité tels que $x$ et $y$ qui y satisfassent aussi, et dont l’un y soit multiple d’un nombre quelconque donné ; au reste, ces théorèmes nous seront encore fort utiles dans la suite.

Appliquons maintenant les méthodes précédentes à quelques exemples.

Exemples.

22. Exemple I. — Soit proposé de trouver deux nombres $x$ et $y$ tels, que $x^{2}-13y^{2}=1.$

Je commence par extraire la racine carrée de $13$ en fractions décimales, et je trouve, en poussant l’approximation jusqu’à neuf caractères, ce qu’on fera aisément à l’aide des grandes Tables de logarithmes d’Ulacq ; je trouve, dis-je, ${\sqrt {13}}=3{,}605\ 519\ 50={\frac {36\ 055\ 195}{10\ 000\ 000}}.$

Je divise le numérateur de cette fraction par son dénominateur, ensuite le dénominateur par le reste, et ainsi de suite, comme si je voulais trouver la plus grande commune mesure entre le numérateur et le dénominateur, et ces différentes divisions me donnent ces quotients : $3,1,1,1,$$1,6,1,1,1,1,$$6,1,1,\ldots ,$ à l’aide desquels je forme, en commençant par ${\frac {1}{0}},$ les fractions suivantes :

${\begin{array}{ccccccccc}&1&1&1&1&6&1&1&1\quad \ldots \\{\cfrac {1}{0}},&{\cfrac {3}{1}},&{\cfrac {4}{1}},&{\cfrac {7}{2}},&{\cfrac {11}{3}},&{\cfrac {18}{5}},&{\cfrac {119}{33}},&{\cfrac {137}{38}},&{\cfrac {256}{71}},\ldots ,\end{array}}$

où l’on voit que le numérateur de chaque fraction est égal à la somme du numérateur de la fraction précédente multiplié par le nombre qui est au-dessus (ces nombres ne sont autre chose que les quotients dont il s’agit écrits de suite, et suivant l’ordre dans lequel on les a trouvés), et du numérateur de la fraction qui est avant celle-ci ; et il en est de même des dénominateurs, ce qui s’accorde avec ce que l’on a dit dans le n^o 1.