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Pour démontrer cette proposition, il suffit de faire voir que $y$ et $x-1$ seront toujours divisibles par $2^{s}.$ Or, si l’on fait, pour abréger, $\mathrm {M} =2^{s}\mathrm {R} ,$ on aura

$x\pm y{\sqrt {a}}=\left(p\pm q{\sqrt {a}}\right)^{2^{s}\mathrm {R} }.$

Qu’on suppose : 1^o

$p'\pm q'{\sqrt {a}}=\left(p\pm q{\sqrt {a}}\right)^{2^{s-1}\mathrm {R} },$

on aura

$x\pm y{\sqrt {a}}=\left(p'\pm q'{\sqrt {a}}\right)^{s}\,;$

d’où

$x=p'^{2}+aq'^{2}\quad {\text{et}}\quad y=2p'q'\,;$

mais on a aussi

$p'^{2}-aq'^{2}=1\,;$

donc

$x-1=2ap'q'.$

Donc $y$ et $x-1$ seront divisibles par $2q'.$

Supposons : 2^o

$p''\pm q''{\sqrt {a}}=\left(p\pm q{\sqrt {a}}\right)^{2^{s-2}\mathrm {R} },$

on aura

$p'\pm q'{\sqrt {a}}=\left(p''\pm q''{\sqrt {a}}\right)^{2},$

d’où

$q'=2p''q''\,;$

ainsi $q'$ sera divisible par $2q''\,;$ de même, en faisant

$p''\pm q'''{\sqrt {a}}=(p\pm q{\sqrt {a}})^{2^{s-3}\mathrm {R} },$

on trouvera que $q''$ sera divisible par $2q''',$ et ainsi de suite.

Donc, si $s=1,$ $y$ et $x-1$ seront divisibles par $2\,;$ si $s=2,$ $y$ et $x-1$ seront divisibles par $2.2,$ si $s=3,$ ces quantités seront divisibles par $2.2.2,\ldots \,;$ donc, en général, $y$ et $x-1$ seront toujours divisibles par $2^{s}.$

Par le moyen de ces théorèmes on peut résoudre le cas du n^o 14 ; car quel que soit le nombre donné, il est clair qu’on pourra toujours le réduire à cette forme : $2^{s}\mathrm {N} ,$ $\mathrm {N}$ étant impair ; par conséquent, en connais-