où l’on remarquera que
sera toujours pair lorsque
et
ne seront pas nuls à la fois, et qu’au contraire
sera pair lorsque
et
On pourra poursuivre ces opérations et ces raisonnements aussi loin qu’on voudra.
21. Donc, en général, étant donné un nombre quelconque
impair, dont les facteurs premiers soient
si l’on nomme
les restes des divisions de
par
de
par
de
par
et ainsi de suite, et qu’on fasse
![{\displaystyle \mathrm {M} =(m-r)(m'-r')(m''-r'')\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21bbd97838af5a02d8514d0bc5d33fbd93b3c6b5)
les expressions suivantes :
![{\displaystyle {\begin{aligned}x=&{\frac {\left(p+q{\sqrt {a}}\right)^{\mathrm {M} }+\left(p-q{\sqrt {a}}\right)^{\mathrm {M} }}{2}},\\y=&{\frac {\left(p+q{\sqrt {a}}\right)^{\mathrm {M} }-\left(p-q{\sqrt {a}}\right)^{\mathrm {M} }}{2{\sqrt {a}}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8095dc73bd589792a6af7c838d043f39ccc59898)
satisferont d’abord à l’équation
et de plus elles seront telles, que
sera toujours divisible par
et que
ou
le sera aussi, suivant que
sera impair ou pair.
Les mêmes choses auront lieu aussi en faisant
![{\displaystyle \mathrm {M} =n(m-r)(m'-r')(m''-r'')\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76d81d96880df75120de758ebfe960630e2a2b36)
étant un nombre quelconque entier positif, comme il est facile de le voir par ce que nous avons enseigné dans les numéros précédents.
Je dis de plus que, si l’on fait
![{\displaystyle \mathrm {M} =2^{s}n(m-r)(m'-r')(m''-r'')\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98e1d0fbc2bf5208f62a428cbe90c1d2e398ca65)
étant un nombre entier positif quelconque, la quantité
sera divisible par
et la quantité
le sera aussi.