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on verra que $y'$ est toujours divisible par $q',$ et que $x-p'$ ou $x-1$ l’est aussi, suivant que $n$ est pair ou impair ; or $q'$ est toujours divisible par $m$ (numéro précédent), donc $y'$ sera toujours divisible par $m,$ et $x-p'$ ou $x-1$ le sera aussi, suivant que $n$ sera impair ou pair, quel que soit d’ailleurs le nombre $n,$ pourvu qu’il soit plus grand que l’unité.

Or, soit $m'$ un nombre premier quelconque, et désignons par $r'$ le reste de la division de $a^{\frac {m'-1}{2}}$ par $m'$ (reste qui sera nécessairement ou $0,$ ou bien $\pm 1$), si l’on fait dans les formules précédentes $n=m'-r',$ on prouvera, comme dans le numéro précédent, que $y$ sera toujours divisible par $m',$ et que $x-p'$ ou $x-1$ le sera aussi, suivant que $r'$ sera ou ne sera pas nul ; mais, lorsque $r'$ est nul, $n$ est impair, et lorsque $r'$ est $\pm 1,$ $n$ est pair ; donc $y$ sera toujours divisible par $mm'$ et $x-p'$ ou $x-1$ le sera aussi, suivant que $r'$ sera ou ne sera pas nul.

De plus, lorsque $r'$ est nul, $a$ est divisible par $m'\,;$ et, si l’on développe l’expression de $p'$ du numéro précédent, suivant les dernières formules du n^o 16, on verra que $p'-p$ ou $p'-1$ sera divisible par $a,$ suivant que $m-r$ sera impair ou pair, c’est-à-dire suivant que $r$ sera ou ne sera pas nul ; d’où, et du numéro précédent, il s’ensuit que si, $r'$ étant nul, $r$ l’est aussi, $p'-p$ sera divisible par $mm',$ et, si $r$ n’est pas nul, $p'-1$ sera divisible par $mm'.$

D’où je conclus : 1^o que $y$ sera toujours divisible par $mm'\,;$ 2^o que, si les deux restes $r$ et $r'$ sont nuls à la fois, $x-p$ sera divisible par $mm',$ et que s’ils ne sont pas tous les deux nuls, alors $x-1$ sera divisible par $mm'.$

Or

$x\pm y{\sqrt {a}}=\left(p'\pm q'{\sqrt {a}}\right)^{m'-r'}\quad {\text{et}}\quad p'\pm q'{\sqrt {a}}=\left(p\pm q{\sqrt {a}}\right)^{m-r}\,;$

donc, faisant, pour abréger, $(m-r)(m'-r')=\mathrm {M} ,$ on aura

$x\pm y{\sqrt {a}}=\left(p\pm q{\sqrt {a}}\right)^{\mathrm {M} },$

et, par conséquent,

${\begin{aligned}x=&{\frac {\left(p+q{\sqrt {a}}\right)^{\mathrm {M} }+\left(p-q{\sqrt {a}}\right)^{\mathrm {M} }}{2}},\\y=&{\frac {\left(p+q{\sqrt {a}}\right)^{\mathrm {M} }-\left(p-q{\sqrt {a}}\right)^{\mathrm {M} }}{2{\sqrt {a}}}},\end{aligned}}$