Page:Lagrange - Œuvres (1867) vol. 1.djvu/772

$x'$ et de $y',$ le signe supérieur, on aura

$x'=px+aqy,\qquad y'=py+qx,$

ou bien

$x'=(x-p)p+a(y+q)q+p^{2}-aq^{2}\quad {\text{et}}\quad y'=(x-p)q+(y+q)p\,;$

donc, à cause de $p^{2}-aq^{2}=1,$ $x'-1$ et $y'$ seront aussi-divisibles par $m.$

En second lieu, si $a^{\frac {m-1}{2}}-1$ est divisible par $m,$ en sorte que $x-p$ et $y-q$ le soient aussi, et qu’on prenne, dans les expressions de $x'$ et de $y',$ le signe inférieur, on aura

$x'=px-aqy,\qquad y'=py-qx,$

ou bien

$x'=(x-p)p-a(y-q)q+p^{2}-aq^{2}\quad {\text{et}}\quad y'=(y-q)p-(x-p)q\,;$

d’où il s’ensuit que $x'-1$ et $y'$ seront encore divisibles par $m.$

Donc, en général, si $r$ est le reste de la division de $a^{\frac {m-1}{2}}$ par $m$ (reste qui ne peut être que $0$ ou $\pm 1$), et qu’on fasse

${\begin{aligned}p'=&{\frac {\left(p+q{\sqrt {a}}\right)^{m-r}+\left(p-q{\sqrt {a}}\right)^{m-r}}{2}},\\q'=&{\frac {\left(p+q{\sqrt {a}}\right)^{m-r}-\left(p-q{\sqrt {a}}\right)^{m-r}}{2{\sqrt {a}}}},\end{aligned}}$

les nombres $p'$ et $q'$ seront d’abord tels que $p'^{2}-aq'^{2}=1$ et de plus $q'$ sera toujours divisible par $m,$ et $p'-p$ ou $p'-1$ le sera aussi, suivant que $r$ sera ou ne sera pas nul.

20. Supposons à présent

${\begin{aligned}x=&{\frac {\left(p'+q'{\sqrt {a}}\right)^{n}+\left(p'-q'{\sqrt {a}}\right)^{n}}{2}},\\y=&{\frac {\left(p'+q'{\sqrt {a}}\right)^{n}-\left(p'-q'{\sqrt {a}}\right)^{n}}{2{\sqrt {a}}}}\,;\end{aligned}}$

si l’on développe ces expressions suivant les dernières formules du n^o 16,