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DE MAXIMIS ET MINIMIS.

géométrique, dont les deux extrêmes sont les données $a$ et $b$. Pour juger à présent du maximum ou minimum, soit fait d’abord, pour abréger,

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {Z} }{t(a+t)(t+u)}}&=\alpha ,\\{\frac {\mathrm {Z} }{u(t+u)(u+x)}}&=\beta ,\\{\frac {\mathrm {Z} }{x(u+x)(x+y)}}&=\gamma ,\end{aligned}}$

....................,

on aura

${\begin{aligned}p&=\alpha (au-t^{2}),\\q&=\beta (tx\ -u^{2}),\\r&=\gamma (uy\,-x^{2}),\end{aligned}}$

............;

donc

${\begin{aligned}dp&=(au-t^{2})d\alpha \,+\alpha (adu-2tdt)\\dq&=(t\,x-u^{2})d\beta +\beta (xdt\ +tdx\,-2udu)\\dr&=(uy-x^{2})d\gamma -\gamma (ydx\ +udy-2xdx)\end{aligned}}$

.........................................

Or, comme les termes $a,t,u,x,y,\ldots$ doivent être en progression continue, si l’on nomme $1:m$ la raison constante d’un antécédent quelconque à son conséquent, on trouve

$t=ma,\quad u=m^{2}a,\quad x=m^{3}a,\quad y=m^{4}a,\ldots ,$

de plus

$\beta ={\frac {\alpha }{m^{3}}},\quad \gamma ={\frac {\alpha }{m^{6}}},\ldots ,$

lesquelles valeurs substituées dans les expressions précédentes les réduiront à

${\begin{aligned}dp&=\alpha a\ \ (\ du\ -2mdt),\\dq&=\alpha a\left(\ \ dt\ -{\frac {2du}{m}}+{\frac {dx}{m^{2}}}\right),\\dr&=\alpha a\left({\frac {du}{m^{2}}}-{\frac {2dx}{m^{3}}}+{\frac {dy}{m^{4}}}\right),\end{aligned}}$