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$\mathrm {M} '',\ldots .$ Car soit $y=\mathrm {N}$ (on. fera le même raisonnement pour tous les autres termes de la série $\mathrm {N,N',N''} ,\ldots ,$ et de sa correspondante $\mathrm {M,M',M''} ,\ldots ,$), en sorte que l’on ait $x^{2}-a\mathrm {N} ^{2}=1\,;$ si $\mathrm {M}$ n’est pas $=x,$ il sera nécessairement $>x,$ à cause que la quantité $\mathrm {M} ^{2}-a\mathrm {N} ^{2}$ est toujours $>0$ (n^o 2) ; ainsi l’on aura

$\mathrm {\frac {M}{N}} >{\frac {x}{\mathrm {N} }}\quad {\text{et}}\quad \mathrm {\frac {M}{N}} -{\frac {m}{n}}>{\frac {x}{\mathrm {N} }}-{\frac {m}{n}},$

savoir, à cause de $\mathrm {M} n-\mathrm {N} m=1$ (n^o 1),

${\frac {1}{\mathrm {N} n}}>{\frac {xn-\mathrm {N} m}{\mathrm {N} n}},\quad {\text{ou bien}}\quad xn-\mathrm {N} m<1\,;$

mais, par l’équation $x^{2}-aN^{2}=1,$ on a ${\frac {x}{\mathrm {N} }}={\sqrt {a+{\frac {1}{\mathrm {N} ^{2}}}}},$ et par conséquent ${\frac {x}{\mathrm {N} }}>{\sqrt {a}}\,;$ et par le n^o 1 on a ${\frac {m}{n}}<{\sqrt {a}}\,;$ donc ${\frac {x}{\mathrm {N} }}>{\frac {m}{n}},$ donc

$xn-\mathrm {N} m>0,$

ce qui est contradictoire.

Supposons maintenant que $y$ ne soit égal à aucun des termes de la série $0,\mathrm {N,N',N''} ,\ldots \,;$ comme cette série commence par zéro et s’étend à l’infini (n^o 1), il est clair que le nombre $y$ se trouvera nécessairement entre deux quelconques des termes voisins de la même série ; supposons donc que ce soit entre $\mathrm {N}$ et $\mathrm {N} '$ (le raisonnement sera le même pour tous les autres termes), en sorte que l’on ait $y>\mathrm {N}$ et $y<\mathrm {N} '\,;$ je considère les trois fractions consécutives $\mathrm {\frac {M}{N}} ,{\frac {m'}{n'}},\mathrm {\frac {M'}{N'}} ,$ dont les numérateurs $\mathrm {M} ,m',\mathrm {M} '$ vont en augmentant aussi bien que les dénominateurs $\mathrm {N} ,n',\mathrm {N} ',$ et qui sont de plus convergentes vers la valeur de ${\sqrt {a}},$ mais de façon que la première et la troisième sont plus grandes que cette valeur, et la seconde en est plus petite (n^o 1), et je vais démontrer d’abord que $y$ doit nécessairement être $>n'.$ Car, puisqu’on a $x^{2}-ay^{2}=1,$ on aura ${\frac {x^{2}}{y^{2}}}-a={\frac {1}{y^{2}}}\,;$ mais $\mathrm {M} ^{2}-a\mathrm {N} ^{2}=\mathrm {R} ,$ $\mathrm {R}$ étant $>0$ par le n^o 2 ; donc aussi $\mathrm {\frac {M^{2}}{N^{2}}} -a=\mathrm {\frac {R}{N^{2}}} \,;$ donc, comme $y>\mathrm {N} ,$ et que $\mathrm {R} =0$ ou $>1,$ on aura nécessai-