séquent
sera aussi négative ; donc
![{\displaystyle pp'-aqq'<p'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4cde41a8d1d5788d3b15cbce0b55f7d73f63815)
Donc il faudra par l’hypothèse que l’on ait
et comme
![{\displaystyle (pp'-aqq')^{2}-a(pq'-qp')^{2}=1\quad {\text{et}}\quad pp'-aqq'=p,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8938c211d8d61483d5898ed959c068481daea6f1)
il faudra aussi que l’on ait
![{\displaystyle (pq'-qp')^{2}=q^{2},\quad {\text{d’où}}\quad pq'-qp'=\pm q.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbdb2541016f40a9ccedd84bd332d007da7da973)
Mais
![{\displaystyle {\frac {p}{q}}={\sqrt {a+{\frac {1}{q^{2}}}}}\quad {\text{et}}\quad {\frac {p'}{q'}}={\sqrt {a+{\frac {1}{q'^{2}}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6239a972714aeab07f0dba163a98ea8082ccab37)
donc, à cause de
on aura
donc
sera positif ; de sorte qu’il faudra supposer
![{\displaystyle pq'-qp'=q.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8d8f612aa87924390aefb8afb3c34fe03155c9c)
Nous aurons donc ces deux équations :
![{\displaystyle pp'-aqq'=p\quad {\text{et}}\quad pq'-qp'=q,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/513f2cf58219d29444d8462c0ce4561d4d5fea75)
d’où l’on tire
![{\displaystyle p'={\frac {p^{2}+aq^{2}}{p^{2}-aq^{2}}}\quad {\text{et}}\quad q'={\frac {2pq}{p^{2}-aq^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb85b2b7ed208afb34bb70361039aa95dbdf253d)
c’est-à-dire, à cause de ![{\displaystyle p^{2}-aq^{2}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8862a3f224c332f1bac38919403789a1ed77dcc3)
![{\displaystyle p'=p^{2}+aqq^{2},\qquad q'=2pq,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f28a4a8e373fbccd398b9c52b113a0bf5f8153de)
ou bien, ce qui revient au même,
![{\displaystyle {\begin{aligned}p'=&{\frac {\left(p+q{\sqrt {a}}\right)^{2}+\left(p-q{\sqrt {a}}\right)^{2}}{2}},\\q'=&{\frac {\left(p+q{\sqrt {a}}\right)^{2}-\left(p-q{\sqrt {a}}\right)^{2}}{2{\sqrt {a}}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0298c41032b41e87287aba7df600821424083de5)
d’où l’on voit que les valeurs de
et
sont contenues dans les formules générales du no 15, en y faisant ![{\displaystyle m=2.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78650cc1ac531199989068fc3e2824bfbb4062ab)
Soient ensuite
et
les valeurs de
et de
qui sont immédiatement