Ensuite
![{\displaystyle {\begin{aligned}y'\ \ &=q,\\y'''&=3q+4aq^{3},\\y^{\mathrm {v} }\ &=5q+20aq^{3}+16a^{2}q^{5},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d1a3c7625a7ff4038887861569ee779b5295d55)
et en général
![{\displaystyle {\begin{aligned}y=&mq+{\frac {m(m^{2}-1)}{2.3}}aq^{3}+{\frac {m\left(m^{2}-1\right)\left(m^{2}-9\right)}{2.3.4.5}}a^{2}q^{5}\\&+{\frac {m\left(m^{2}-1\right)\left(m^{2}-9\right)\left(m^{2}-25\right)}{2.3.4.5.6.7}}a^{3}q^{7}+\ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca6ff2384a3ac27d1cff9dba0afe557ac24f04e7)
2o Pour le cas de
pair,
![{\displaystyle {\begin{aligned}x''\ &=1+2aq^{2},\\x^{\mathrm {iv} }&=1+8aq^{2}+8a^{2}q^{4},\\x^{\mathrm {v} }\,&=1+18aq^{2}+48a^{2}q^{4}+32a^{3}q^{6},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d63ff07d5f99f73ab5a0425ede532d319dfc5177)
et en général
![{\displaystyle x=1+{\frac {m^{2}}{2}}aq^{2}+{\frac {m^{2}\left(m^{2}-4\right)}{2.3.4}}a^{2}q^{4}+{\frac {m^{2}\left(m^{2}-4\right)\left(m^{2}-16\right)}{2.3.4.5.6}}a^{3}q^{6}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecdd62e4983074cc9b615bb9e6ebae97a3a5158f)
Ensuite
![{\displaystyle {\begin{aligned}y''\ &=2pq,\\y^{\mathrm {iv} }&=p\left(4q+8aq^{3}\right),\\y^{\mathrm {v} }\,&=p\left(6q+32aq^{3}+32a^{2}q^{5}\right),\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee2fbdfa225f21204c63145b8ec2bb8b832f9d75)
et en général
![{\displaystyle y=p\left[mq+{\frac {m\left(m^{2}-4\right)}{2.3}}aq^{3}+{\frac {m\left(m^{2}-4\right)\left(m^{2}-16\right)}{2.3.4.5}}a^{2}q^{5}+\ldots \right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a930d2e4868321e343d8b1ab2a7e76526940a0a)
Ces dernières expressions de
et de
ont l’avantage de n’être composées que de termes tous positifs, ce qui les rend beaucoup plus simples et plus commodes pour le calcul.
17. Nous allons démontrer maintenant que si
et
sont les plus petites valeurs de
et
qui satisfassent à l’équation
![{\displaystyle x^{2}-ay^{2}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87882183a4f4859e9ed4e59147adaff5d2991b88)