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Ensuite

${\begin{aligned}y'\ \ &=q,\\y'''&=3q+4aq^{3},\\y^{\mathrm {v} }\ &=5q+20aq^{3}+16a^{2}q^{5},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et en général

${\begin{aligned}y=&mq+{\frac {m(m^{2}-1)}{2.3}}aq^{3}+{\frac {m\left(m^{2}-1\right)\left(m^{2}-9\right)}{2.3.4.5}}a^{2}q^{5}\\&+{\frac {m\left(m^{2}-1\right)\left(m^{2}-9\right)\left(m^{2}-25\right)}{2.3.4.5.6.7}}a^{3}q^{7}+\ldots \end{aligned}}$

2^o Pour le cas de $m$ pair,

${\begin{aligned}x''\ &=1+2aq^{2},\\x^{\mathrm {iv} }&=1+8aq^{2}+8a^{2}q^{4},\\x^{\mathrm {v} }\,&=1+18aq^{2}+48a^{2}q^{4}+32a^{3}q^{6},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et en général

$x=1+{\frac {m^{2}}{2}}aq^{2}+{\frac {m^{2}\left(m^{2}-4\right)}{2.3.4}}a^{2}q^{4}+{\frac {m^{2}\left(m^{2}-4\right)\left(m^{2}-16\right)}{2.3.4.5.6}}a^{3}q^{6}+\ldots .$

Ensuite

${\begin{aligned}y''\ &=2pq,\\y^{\mathrm {iv} }&=p\left(4q+8aq^{3}\right),\\y^{\mathrm {v} }\,&=p\left(6q+32aq^{3}+32a^{2}q^{5}\right),\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et en général

$y=p\left[mq+{\frac {m\left(m^{2}-4\right)}{2.3}}aq^{3}+{\frac {m\left(m^{2}-4\right)\left(m^{2}-16\right)}{2.3.4.5}}a^{2}q^{5}+\ldots \right].$

Ces dernières expressions de $x$ et de $y$ ont l’avantage de n’être composées que de termes tous positifs, ce qui les rend beaucoup plus simples et plus commodes pour le calcul.

17. Nous allons démontrer maintenant que si $p$ et $q$ sont les plus petites valeurs de $x$ et $y$ qui satisfassent à l’équation

$x^{2}-ay^{2}=1,$