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donneront

${\begin{aligned}x=&{\frac {\left(p+q{\sqrt {a}}\right)^{m}+\left(p-q{\sqrt {a}}\right)^{m}}{2}},\\y=&{\frac {\left(p+q{\sqrt {a}}\right)^{m}-\left(p-q{\sqrt {a}}\right)^{m}}{2}},\end{aligned}}$

expressions qui reviennent au même que les précédentes, mais qui ont l’avantage d’être sous une forme finie ; ainsi, prenant successivement pour $m$ tous les nombres naturels, on aura une infinité de solutions du problème proposé.

16. Les dernières expressions de $x$ et de $y$ font voir que ces quantités forment deux suites récurrentes, dont l’échelle de relation est $2p,$$-\left(p^{2}-aq^{2}\right),$ ou bien (à cause de $p^{2}-aq^{2}=1$) $2p,-1\,;$ de sorte qu’en dénotant par $x',x'',x''',\ldots$ et $y',y'',y''',\ldots$ les valeurs de $x$ et de $y$ qui répondent à $m=1,2,3,\ldots ,$ on aura les séries suivantes :

${\begin{aligned}x'\ \ &=p,\\x''\ &=\ \ 2p^{2}-1,\\x'''&=\ \ 4p^{3}-3p,\\x^{\mathrm {iv} }&=\ \ 8p^{4}-8p^{2}+1,\\x^{\mathrm {v} }\ &=16p^{5}-20p^{3}+5p,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et en général, lorsque l’exposant est $m,$

${\begin{aligned}x=&2^{m-1}p^{m}-m2^{m-3}p^{m-2}+{\frac {m(m-3)}{2}}2^{m-5}p^{m-4}-{\frac {m(m-4)(m-5)}{2.3}}2^{m-7}p^{m-6}\\&+{\frac {m(m-5)(m-6)(m-7)}{2.3.4}}2^{m-9}p^{m-8}-\ldots ,\end{aligned}}$

et de même

${\begin{aligned}y'\ \ &=q,\\y''\ &=2pq,\\y'''&=\left(4p^{2}-1\right)q,\\y^{\mathrm {iv} }&=\left(8p^{3}-4p\right)q,\\y^{\mathrm {v} }\ &=\left(16p^{4}-12p^{2}+1\right)q,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$