donneront
![{\displaystyle {\begin{aligned}x=&{\frac {\left(p+q{\sqrt {a}}\right)^{m}+\left(p-q{\sqrt {a}}\right)^{m}}{2}},\\y=&{\frac {\left(p+q{\sqrt {a}}\right)^{m}-\left(p-q{\sqrt {a}}\right)^{m}}{2}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b25f3bd8cf735ae0227217440239a0afd77d1aec)
expressions qui reviennent au même que les précédentes, mais qui ont l’avantage d’être sous une forme finie ; ainsi, prenant successivement pour
tous les nombres naturels, on aura une infinité de solutions du problème proposé.
16. Les dernières expressions de
et de
font voir que ces quantités forment deux suites récurrentes, dont l’échelle de relation est ![{\displaystyle 2p,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d2b665902c95ac613fe3dd41c4f027b5a151c8b)
ou bien (à cause de
)
de sorte qu’en dénotant par
et
les valeurs de
et de
qui répondent à
on aura les séries suivantes :
![{\displaystyle {\begin{aligned}x'\ \ &=p,\\x''\ &=\ \ 2p^{2}-1,\\x'''&=\ \ 4p^{3}-3p,\\x^{\mathrm {iv} }&=\ \ 8p^{4}-8p^{2}+1,\\x^{\mathrm {v} }\ &=16p^{5}-20p^{3}+5p,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a9b61aa7357e7dc3c9eeb09cf47db30f7638d95)
et en général, lorsque l’exposant est ![{\displaystyle m,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dad66d19bb37bc69223cb004be2ea5dd95f9564c)
![{\displaystyle {\begin{aligned}x=&2^{m-1}p^{m}-m2^{m-3}p^{m-2}+{\frac {m(m-3)}{2}}2^{m-5}p^{m-4}-{\frac {m(m-4)(m-5)}{2.3}}2^{m-7}p^{m-6}\\&+{\frac {m(m-5)(m-6)(m-7)}{2.3.4}}2^{m-9}p^{m-8}-\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/caaa4e61ffd44ff60906923b64bcb5fc4c0d7c8b)
et de même
![{\displaystyle {\begin{aligned}y'\ \ &=q,\\y''\ &=2pq,\\y'''&=\left(4p^{2}-1\right)q,\\y^{\mathrm {iv} }&=\left(8p^{3}-4p\right)q,\\y^{\mathrm {v} }\ &=\left(16p^{4}-12p^{2}+1\right)q,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9132206892432abaa9964d785afc36db917aee06)