équation qu’il s’agit de réduire à la forme de celle-ci :
![{\displaystyle 1=x^{2}-ay^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a38881158a09aa005b0bc84703fb2cadb633492)
Pour cela je remarque que
![{\displaystyle p^{2}-aq^{2}=\left(p+q{\sqrt {a}}\right)\left(p-q{\sqrt {a}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3de28385f6bb53bf53fa511b8618324f30154c2)
de sorte que l’on aura
![{\displaystyle \left(p^{2}-aq^{2}\right)^{m}=\left(p+q{\sqrt {a}}\right)^{m}\left(p-q{\sqrt {a}}\right)^{m}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45c08ac2cafef0c2b4cdf951e8adf70fcde87bc3)
Or
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left(p+q{\sqrt {a}}\right)^{m}=&p^{m}+mp^{m-1}q{\sqrt {a}}+{\frac {m(m-1)}{2}}p^{m-2}q^{2}a\\&+{\frac {m(m-1)(m-2)}{2.3}}p^{m-3}q^{3}a{\sqrt {a}}+\ldots \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81bda0316830d2cc11e9904581a75eb2c8026866)
donc, si l’on fait
![{\displaystyle {\begin{aligned}x=&p^{m}+{\frac {m(m-1)}{2}}p^{m-2}q^{2}a+{\frac {m(m-1)(m-2)(m-3)}{2.3.4}}p^{m-4}q^{4}a^{2}+\ldots ,\\y=&mp^{m-1}q+{\frac {m(m-1)(m-2)}{2.3}}p^{m-3}q^{3}a+{\frac {m(m-1)\ldots (m-4)}{2.3.4.5}}p^{m-5}q^{5}a^{2}+\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e31e40f4373d474423102e0e925c58cc0eaadcac)
on aura
![{\displaystyle \left(p+q{\sqrt {a}}\right)^{m}=x+y{\sqrt {a}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0369a8d5d7db18a550906568ed5dd4ab21aff92b)
et, prenant le radical
en
on aura de même
![{\displaystyle \left(p-q{\sqrt {a}}\right)^{m}=x-y{\sqrt {a}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1628ec5b519edc2632da35d3d23811b2660dffe)
donc
![{\displaystyle \left(p^{2}-aq^{2}\right)^{m}=\left(x-y{\sqrt {a}}\right)\left(x-y{\sqrt {a}}\right)=x^{2}-ay^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/737bdc80aa186738a787779c4815cd2ca40d850a)
de sorte que l’on aura en général
![{\displaystyle x^{2}-ay^{2}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87882183a4f4859e9ed4e59147adaff5d2991b88)
en prenant pour
un nombre quelconque entier et positif.
Au reste, les équations
![{\displaystyle \left(p+q{\sqrt {a}}\right)^{m}=x+y{\sqrt {a}}\quad {\text{et}}\quad \left(p-q{\sqrt {a}}\right)^{m}=x-y{\sqrt {a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e211f157c5a23e50c7287b48e4031f753502fdc6)