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à cause de $a=\gamma b\varpi ^{2},$ de cette forme-ci :

$1=p^{2}-{\frac {a}{\varpi ^{2}}}q^{2}.$

Or, connaissant deux valeurs quelconques de $p$ et $q$ qui satisfassent à l’équation $1=p^{2}-fq^{2},$ $f$ étant quelconque, il est toujours possible de trouver par leur moyen deux autres valeurs de $p$ et $q$ qui satisfassent à la même équation, et qui soient telles que la valeur de $q$ soit multiple d’un nombre quelconque donné, comme nous le verrons plus bas (n^o 21) ; donc on pourra toujours déterminer $p$ et $q,$ de manière que $q$ soit divisible par $\varpi \,;$ de sorte qu’on aura

$1=p^{2}-a\left({\frac {q}{\varpi }}\right)^{2},$

comme le problème le demande.

15. Nous avons donc démontré, avec, toute la rigueur et la généralité possibles, qu’un nombre quelconque entier et non carré $a$ étant donné, il est toujours possible de trouver deux nombres $x$ et $y$ tels, que $1=x^{2}-ay^{2},$ et nous avons en même temps donné les moyens de trouver ces mêmes nombres.

Or, comme le carré, le cube, et en général toute puissance d’une quantité de cette forme $x^{2}-ay^{2}$ est toujours aussi de la même forme (n^o 5), il s’ensuit qu’en élevant l’équation $1=x^{2}-ay^{2}$ à une puissance quelconque, on aura une infinité d’autres équations semblables, de sorte qu’ayant trouvé par les méthodes précédentes, ou par quelque autre méthode que ce soit, une seule solution du problème, on pourra par son moyen en trouver d’autres à l’infini.

Pour renfermer toutes ces solutions dans une formule générale, supposons que $p$ et $q$ soient les valeurs trouvées de $x$ et de $y,$ en sorte que l’on ait $1=p^{2}-aq^{2}\,;$ en élevant les deux membres de cette équation à une puissance quelconque $m,$ on aura

$1=(p^{2}-aq^{2})^{m},$