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$\theta =\varpi ^{2}\gamma ,$ $\gamma ,$ n’étant ni carré ni multiple d’un carré ; en ce cas l’équation $\mathrm {R} =x^{2}-ay^{2}$ deviendra

$\varpi ^{2}\gamma \mathrm {T} =x^{2}-\varpi ^{2}\gamma by^{2}\,;$

d’où l’on voit que le carré $x^{2}$ sera nécessairement divisible par $\varpi ^{2}\gamma ,$ et que par conséquent sa racine $x$ le sera par $\varpi \gamma \,:$ ainsi, faisant $x=\varpi \gamma u,$ on aura, après avoir divisé par $\varpi ^{2}\gamma ,$

$\mathrm {T} =\gamma u^{2}-by^{2}.$

Donc, si $\gamma =1,$ c’est-à-dire si $\theta$ est carré, on aura l’équation

$\mathrm {T} =u^{2}-by^{2},$

dans laquelle $\mathrm {T}$ et $b$ seront premiers entre eux, aussi bien que $u$ et $y,$ de sorte qu’à l’aide de cette équation et des autres semblables, on parviendra, par les méthodes des n^os 6 et suivants, à une équation de cette forme :

$1=p^{2}-bq^{2}\quad {\text{ou bien}}\quad 1=p^{2}-{\frac {a}{\varpi ^{2}}}q^{2}.$

Si $\gamma$ n’est pas égal à $1,$ on élèvera l’équation $\mathrm {T} =\gamma u^{2}-by^{2}$ au carré, et l’on aura

$\mathrm {T} ^{2}=\left(\gamma u^{2}+by^{2}\right)^{2}-\gamma b(2uy)^{2},$

et l’on prouvera, comme ci-dessus, que $\gamma b$ sera premier à $\mathrm {T} ^{2},$ et que $\gamma u^{2}+by^{2}$ et $uy$ seront premiers entre eux.

De sorte que, si $\mathrm {T}$ est impair, on aura, au lieu de l’équation. $\mathrm {R} =x^{2}-ay^{2},$ celle-ci :

$\mathrm {T} ^{2}=\left(\gamma u^{2}+by^{2}\right)^{2}-\gamma b(2uy)^{2},$

où $\mathrm {T} ^{2}$ et $\gamma b$ seront premiers entre eux aussi bien que $\gamma u^{2}+by^{2}$ et $2uy.$

Et, si $\mathrm {T}$ est pair, on aura l’équation

$\left({\frac {\mathrm {T} }{2}}\right)^{2}=\left({\frac {\gamma u^{2}+by^{2}}{2}}\right)^{2}-\gamma b(uy)^{2},$

où $\left({\frac {\mathrm {T} }{2}}\right)$ et $\gamma b$ seront premiers entre eux aussi bien que ${\frac {\gamma u^{2}+by^{2}}{2}}$ et $2uy.$

Donc, par le moyen de ces équations et des autres semblables, on parviendra aussi à une équation de cette forme : $1=p^{2}-\gamma bq^{2},$ c’est-à-dire,