n’étant ni carré ni multiple d’un carré ; en ce cas l’équation
deviendra
![{\displaystyle \varpi ^{2}\gamma \mathrm {T} =x^{2}-\varpi ^{2}\gamma by^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/945add35a5d43c96fe2bb62aa518453feac5b3ab)
d’où l’on voit que le carré
sera nécessairement divisible par
et que par conséquent sa racine
le sera par
ainsi, faisant
on aura, après avoir divisé par ![{\displaystyle \varpi ^{2}\gamma ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d15f810d2255d4ae981a4c25611008ec3ea59021)
![{\displaystyle \mathrm {T} =\gamma u^{2}-by^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3759bc7228f67265e487ac08033c004e1fdb03a7)
Donc, si
c’est-à-dire si
est carré, on aura l’équation
![{\displaystyle \mathrm {T} =u^{2}-by^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8236e18fbbed7ffad5c006ee835144fe8f7d4f68)
dans laquelle
et
seront premiers entre eux, aussi bien que
et
de sorte qu’à l’aide de cette équation et des autres semblables, on parviendra, par les méthodes des nos 6 et suivants, à une équation de cette forme :
![{\displaystyle 1=p^{2}-bq^{2}\quad {\text{ou bien}}\quad 1=p^{2}-{\frac {a}{\varpi ^{2}}}q^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08f8775027bdcd1347207cceaee9945f1b9a245c)
Si
n’est pas égal à
on élèvera l’équation
au carré, et l’on aura
![{\displaystyle \mathrm {T} ^{2}=\left(\gamma u^{2}+by^{2}\right)^{2}-\gamma b(2uy)^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f19d8ae46a3b7ae6ae1631cff65dab78fabf6c16)
et l’on prouvera, comme ci-dessus, que
sera premier à
et que
et
seront premiers entre eux.
De sorte que, si
est impair, on aura, au lieu de l’équation.
celle-ci :
![{\displaystyle \mathrm {T} ^{2}=\left(\gamma u^{2}+by^{2}\right)^{2}-\gamma b(2uy)^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f19d8ae46a3b7ae6ae1631cff65dab78fabf6c16)
où
et
seront premiers entre eux aussi bien que
et ![{\displaystyle 2uy.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c271da11226ae46ecfa5790369c07d15b9d50f24)
Et, si
est pair, on aura l’équation
![{\displaystyle \left({\frac {\mathrm {T} }{2}}\right)^{2}=\left({\frac {\gamma u^{2}+by^{2}}{2}}\right)^{2}-\gamma b(uy)^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8edfda2861fe3b1b1b21970eafb34170c64e33e)
où
et
seront premiers entre eux aussi bien que
et ![{\displaystyle 2uy.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c271da11226ae46ecfa5790369c07d15b9d50f24)
Donc, par le moyen de ces équations et des autres semblables, on parviendra aussi à une équation de cette forme :
c’est-à-dire,