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Qu’on élève cette équation au carré, et l’on aura

$\mathrm {T} ^{2}=\theta ^{2}u^{4}-2b\theta u^{2}y^{2}+b^{2}y^{2}-\left(\theta u^{2}+by^{2}\right)^{2}-\theta b(2uy)^{2},$

savoir

$\mathrm {T} ^{2}-\left(\theta u^{2}+by^{2}\right)^{2}-a\left(2uy\right)^{2},$

équation dans laquelle $a$ et $\mathrm {T} ^{2}$ seront premiers entre eux.

Or, dans l’équation $\mathrm {R} =x^{2}-ay^{2},$ $\mathrm {R}$ est nécessairement premier à $y\,;$ autrement $x^{2}$ serait divisible par la plus grande commune mesure de ces deux quantités, et par conséquent $x$ et $y$ ne seraient plus premiers entre eux, contre l’hypothèse ; donc $\mathrm {T}$ et $\theta$ seront aussi premiers à $y\,;$ donc, dans l’équation $\mathrm {T} =\theta u^{2}-by^{2},$ $T$ et $u$ seront aussi premiers entre eux ; autrement il faudrait que $by^{2}$ fût divisible par leur plus grande commune mesure, ce qui ne se peut à cause que $b$ et $y$ sont tous les deux premiers à $\mathrm {T} \,;$ donc, puisque $\mathrm {T}$ est premier à $u$ et à $y,$ il est clair que $\mathrm {T} ^{2}$ sera nécessairement premier à $uy\,;$ donc, dans l’équation

$\mathrm {T} ^{2}=\left(\theta u^{2}+by^{2}\right)^{2}-a(2uy)^{2},$

$\theta u^{2}+by^{2}$ et $uy$ seront premiers entre eux ; car, s’ils ne l’étaient pas, il faudrait que $\mathrm {T}$ fût divisible par leur commune mesure ; ainsi $\mathrm {T}$ et $uy$ ne seraient plus premiers l’un à l’autre.

Donc, si $\mathrm {T}$ est un nombre impair, on prendra, au lieu de l’équation $\mathrm {R} =x^{2}-ay^{2},$ celle-ci :

$\mathrm {T} ^{2}=\left(\theta u^{2}+by^{2}\right)^{2}-a(2uy)^{2},$

dans laquelle $\mathrm {T} ^{2}$ et $a$ seront premiers entre eux, aussi bien que $\theta u^{2}+by^{2}$ et $2uy.$

Et, si $\mathrm {T}$ est un nombre pair, alors $\theta u^{2}+by^{2}$ sera aussi pair, et l’on aura l’équation

$\left({\frac {\mathrm {T} }{2}}\right)^{2}=\left({\frac {\theta u^{2}+by^{2}}{2}}\right)^{2}-a(uy)^{2},$

dans laquelle $\left({\frac {\mathrm {T} }{2}}\right)$ et $a$ seront premiers entre eux, comme aussi ${\frac {\theta u^{2}+by^{2}}{2}}$ et $uy.$

2^o Supposons maintenant que $\theta$ ait un facteur carré $\varpi ^{2},$ en sorte que