Qu’on élève cette équation au carré, et l’on aura
![{\displaystyle \mathrm {T} ^{2}=\theta ^{2}u^{4}-2b\theta u^{2}y^{2}+b^{2}y^{2}-\left(\theta u^{2}+by^{2}\right)^{2}-\theta b(2uy)^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af87ec20efb8dff540698cb270cccd77d693ea32)
savoir
![{\displaystyle \mathrm {T} ^{2}-\left(\theta u^{2}+by^{2}\right)^{2}-a\left(2uy\right)^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b14f3eff5ee2da49ee3c5b5f1ac6167bdfb849c7)
équation dans laquelle
et
seront premiers entre eux.
Or, dans l’équation
est nécessairement premier à
autrement
serait divisible par la plus grande commune mesure de ces deux quantités, et par conséquent
et
ne seraient plus premiers entre eux, contre l’hypothèse ; donc
et
seront aussi premiers à
donc, dans l’équation
et
seront aussi premiers entre eux ; autrement il faudrait que
fût divisible par leur plus grande commune mesure, ce qui ne se peut à cause que
et
sont tous les deux premiers à
donc, puisque
est premier à
et à
il est clair que
sera nécessairement premier à
donc, dans l’équation
![{\displaystyle \mathrm {T} ^{2}=\left(\theta u^{2}+by^{2}\right)^{2}-a(2uy)^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6611dde1137c7495d7350684b1899e7eef79abcb)
et
seront premiers entre eux ; car, s’ils ne l’étaient pas, il faudrait que
fût divisible par leur commune mesure ; ainsi
et
ne seraient plus premiers l’un à l’autre.
Donc, si
est un nombre impair, on prendra, au lieu de l’équation
celle-ci :
![{\displaystyle \mathrm {T} ^{2}=\left(\theta u^{2}+by^{2}\right)^{2}-a(2uy)^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6611dde1137c7495d7350684b1899e7eef79abcb)
dans laquelle
et
seront premiers entre eux, aussi bien que
et ![{\displaystyle 2uy.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c271da11226ae46ecfa5790369c07d15b9d50f24)
Et, si
est un nombre pair, alors
sera aussi pair, et l’on aura l’équation
![{\displaystyle \left({\frac {\mathrm {T} }{2}}\right)^{2}=\left({\frac {\theta u^{2}+by^{2}}{2}}\right)^{2}-a(uy)^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed2ca850adc07bf70934aab2f8fa17b1a9320b6d)
dans laquelle
et
seront premiers entre eux, comme aussi
et ![{\displaystyle uy.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21db860ceb1d54bb759eff0c430a74a9d01f1603)
2o Supposons maintenant que
ait un facteur carré
en sorte que