peuvent être tous deux pairs, parce qu’ils sont supposés premiers l’un à l’autre ; donc ils seront nécessairement tous deux impairs ; donc
sera impair, et par conséquent
et
seront tous deux pairs ; donc, faisant
et
et divisant l’équation précédente par
on aura celle-ci :
![{\displaystyle \pm 1=(xp)^{2}-a(yq)^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8af99ecd64e9a0fec8e52d1ae56b696f5326905)
donc, lorsque
on aura
![{\displaystyle 1=(xp)^{2}-a(yq)^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c1aba4b48330bca1ef103b4808e05befce83e15)
et, lorsque
on aura
![{\displaystyle -1=(xp)^{2}-a(yq)^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b8e9b3884b1a60a39b8ab35019364452747bc84)
d’où, en prenant les carrés, il viendra
![{\displaystyle +1=(x^{2}p^{2}+ay^{2}q^{2})^{2}-a(2xypq)^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/596a8265b3cdd6f25d7c77114b8f8d4a0ef8f502)
14. Nous avons supposé jusqu’ici que les nombres
et
étaient premiers l’un à l’autre ; voyons maintenant comment il faudra s’y prendre lorsque ces nombres auront un diviseur commun.
Soit
le plus grand diviseur commun de
et de
en sorte que
et
et
étant premiers entre eux, et l’équation
![{\displaystyle \mathrm {R} =x^{2}-ay^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c758fb7d92a0e7b5d07f86634faa036e54abe82e)
deviendra
![{\displaystyle \theta \mathrm {T} =x^{2}-\theta by^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67b5bd32c1a85c01501ca015b92425519f5e93cb)
(ce que nous disons de cette équation doit s’appliquer en général à toutes les équations du no 4) ; d’où l’on voit qu’il faut nécessairement que le carré
soit divisible par ![{\displaystyle \theta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/082e8402f1cbddec479b88e2ff0d1be5e9b95bd7)
Supposons : 1o que
ne soit ni carré, ni multiple d’un carré, il est évident que la racine
devra être elle-même divisible par
de sorte qu’en faisant
et divisant toute l’équation par
on aura
![{\displaystyle \mathrm {T} =\theta u^{2}-by^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29839739fd89a084ee444c56be76d8ef26fd7623)