équation au carré, et l’on aurait (no 5)
![{\displaystyle 1=(x^{2}+ay^{2})^{2}-a(2xy)^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00d13bb5d027b990a06a7241af10cdb129793c45)
13. Au reste, si l’on avait
ou
une seule équation suffirait pour résoudre le problème.
Soit : 1o
![{\displaystyle \pm 2=x^{2}-ay^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13459ef656533f54cbe4fdc46594b737c2d1c0ab)
on aura, en prenant les carrés,
![{\displaystyle 4=(x^{2}+ay^{2})^{2}2-4ax^{2}y^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/437f7b485595a0a60e893ad0008e97060c6f41e5)
mais
donc
et, divisant par ![{\displaystyle 4,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6dc0881187d7c549d76cf6e7274b30039a73853)
![{\displaystyle 1=(x^{2}\mp 1)^{2}-a(xy)^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8916463b61398cca898905a7abd41973a42ab95)
2o Soit
![{\displaystyle \pm 4=x^{2}-ay^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b62fd5f0f8a96c16319fad89dd2f079490888cf)
on aura, en carrant,
![{\displaystyle 16=\left(x^{2}+ay^{2}\right)^{2}-4ax^{2}y^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/940d10bde45acda42ca1da7bf4d01f7ed2242a49)
mais
donc, en substituant cette valeur et divisant toute l’équation par
on aura
![{\displaystyle 4=\left(x^{2}\mp 2\right)^{2}-ax^{2}y^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16c0f997b6cc889dc1051f2d6491df9e1e6ce6b4)
Cette équation étant multipliée par l’équation
on aura (no 5), en prenant le signe ![{\displaystyle +,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e863acd450b409ef6564ff90998f5371e205731e)
![{\displaystyle \pm 16=\left[\left(x^{2}\mp 2\right)x+axy^{2}\right]^{2}-a\left[(x^{2}\mp 2)y+x^{2}y\right]^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82935b4cab9f3be780c26800db9e78fe25c2bc34)
c’est-à-dire
![{\displaystyle \pm 16=x^{2}\left(x^{2}+ay^{2}\mp 2\right)^{2}-4ay^{2}\left(x^{2}\mp 1\right)^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d45830392d32ac19805a539fec65ea6e6392eec1)
mais
donc, en substituant et divisant par
on aura
![{\displaystyle \pm 4=x^{2}\left(x^{2}\mp 3\right)^{2}-ay^{2}\left(x^{2}\mp 1\right)^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7354a989e8afc152bc76329adc3c251e8ecdaacf)
Or, puisque
est premier à
et que
est ici un nombre pair,
sera nécessairement impair ; donc l’équation
ne pourra subsister à moins que
et
ne soient tous deux pairs ou impairs ; mais ils ne