et que
et
fussent des nombres premiers quelconques, et
on pourrait aussi par leur moyen résoudre le problème.
Car les équations
et
donneront ces deux-ci :
(L)
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|
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(M)
|
|
|
donc, à cause que
est premier, il faudra, en vertu de l’équation (M), que l’une ou l’autre des quantités
soit divisible par
donc, faisant
![{\displaystyle xy''\pm yx''=q\mathrm {R} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87a51581d99fcf44869f3ce8e8cf19cc415926cc)
l’équation (L) deviendra
![{\displaystyle \mathrm {R^{2}R'} =(xx''-\pm ayy'')^{2}-aq^{2}\mathrm {R} ^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1f9e6c0fa37bfbeddd7d73eb27f9e8b06cbd602)
d’où l’on voit que,
sera aussi nécessairement divisible par
de sorte qu’en faisant
on aura, en divisant par ![{\displaystyle \mathrm {R} ^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c716f9d59984e6b61e4b69849ef01b0e96fd1298)
![{\displaystyle \mathrm {R} '=p^{2}-aq^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5d2ff756864b8b735b9d58ebf01ccedd21a6938)
et il ne s’agira plus que de combiner cette équation avec l’équation
![{\displaystyle \mathrm {R} '=x'^{2}-ay'^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0299978b9502b6234a9605e212f4d47ebf44b54)
suivant la méthode du no 6.
On pourrait traiter de la même manière les cas où l’on aurait
![{\displaystyle x^{2}-ay^{2}=\mathrm {R} ,\ \ x'^{2}-ay'^{2}=\mathrm {R} ',\ \ x''^{2}-y''^{2}=\mathrm {R} ''\ \ {\text{et}}\ \ x'''^{2}-ay'''^{2}=\mathrm {RR'R''} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddeef6ba9a30bc165ae35f2583b7dadc4c7d364e)
étant des nombres premiers, et ainsi des autres.
12. Il est bon de remarquer encore que si les nombres
dans les différentes équations du no 4, étaient de signes différents, pourvu qu’ils fussent d’ailleurs égaux entre eux, les méthodes des numéros précédents réussiraient de même ; il n’y aurait d’autre différence dans les résultats sinon qu’au lieu d’arriver toujours à une équation de cette forme :
on arriverait quelquefois à une équation de cette autre forme :
mais alors il n’y aurait qu’à élever cette dernière