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et que $\mathrm {R}$ et $\mathrm {R} '$ fussent des nombres premiers quelconques, et $\mathrm {R''=RR'} ,$ on pourrait aussi par leur moyen résoudre le problème.

Car les équations $x^{2}-ay^{2}=\mathrm {R}$ et $x''^{2}-ay''^{2}=\mathrm {RR} '$ donneront ces deux-ci :

(L)

$\mathrm {R^{2}R'} =(xx''\pm ayy'')^{2}-a(xy''\pm yx'')^{2},$

(M)

$\mathrm {R} \left(y''^{2}-\mathrm {R} 'y''^{2}\right)=(xy''+yx'')(xy''-yx'')\,;$

donc, à cause que $\mathrm {R}$ est premier, il faudra, en vertu de l’équation (M), que l’une ou l’autre des quantités $xy''+yx'',\ xy''-yx''$ soit divisible par $R\,:$ donc, faisant

$xy''\pm yx''=q\mathrm {R} ,$

l’équation (L) deviendra

$\mathrm {R^{2}R'} =(xx''-\pm ayy'')^{2}-aq^{2}\mathrm {R} ^{2},$

d’où l’on voit que, $xx''pmayy''$ sera aussi nécessairement divisible par $\mathrm {R} ,$ de sorte qu’en faisant $xx''\pm ayy''=p\mathrm {R} ,$ on aura, en divisant par $\mathrm {R} ^{2},$

$\mathrm {R} '=p^{2}-aq^{2},$

et il ne s’agira plus que de combiner cette équation avec l’équation

$\mathrm {R} '=x'^{2}-ay'^{2},$

suivant la méthode du n^o 6.

On pourrait traiter de la même manière les cas où l’on aurait

$x^{2}-ay^{2}=\mathrm {R} ,\ \ x'^{2}-ay'^{2}=\mathrm {R} ',\ \ x''^{2}-y''^{2}=\mathrm {R} ''\ \ {\text{et}}\ \ x'''^{2}-ay'''^{2}=\mathrm {RR'R''} ,$

$\mathrm {R,R',R''}$ étant des nombres premiers, et ainsi des autres.

12. Il est bon de remarquer encore que si les nombres $\mathrm {R} ,$ dans les différentes équations du n^o 4, étaient de signes différents, pourvu qu’ils fussent d’ailleurs égaux entre eux, les méthodes des numéros précédents réussiraient de même ; il n’y aurait d’autre différence dans les résultats sinon qu’au lieu d’arriver toujours à une équation de cette forme : $1=x^{2}-ay^{2},$ on arriverait quelquefois à une équation de cette autre forme : $-1=x^{2}-ay^{2}\,;$ mais alors il n’y aurait qu’à élever cette dernière