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par $\mathrm {A} \,;$ par conséquent leur somme $2xy'$ le serait aussi ; donc, à cause de $\mathrm {A}$ premier et différent de $2,$ il faudrait que $x$ ou $y'$ fût divisible par $\mathrm {A} \,:$ mais, si $x$ était divisible par $\mathrm {A} ,$ il faudrait, en vertu de l’équation $A^{n}=x^{2}-ay^{2},$ que $y$ le fût aussi, $a$ étant, par hypothèse, premier à $\mathrm {A} \,;$ ainsi $x$ et $y$ ne seraient pas premiers entre eux, ce qui répugne à la nature de ces quantités (n^o 1).

On prouvera de même, par l’équation $\mathrm {A} ^{n}=x'^{2}-ay'^{2},$ que $y$ ne saurait être divisible par $\mathrm {A} .$ Donc il faudra nécessairement que l’on ait

$xy'\pm yx'=q\mathrm {A} ^{n},$

ce qui réduira l’équation (A) à

$\mathrm {A} ^{2n}=(xx'\pm ayy')^{2}-aq^{2}\mathrm {A} ^{2n},$

par laquelle on voit que $xx'\pm ayy'$ sera aussi divisible par $\mathrm {A} ^{2n}\,;$ ainsi, faisant

$xx'\pm ayy'=p\mathrm {A} ^{n},$

et divisant l’équation par $\mathrm {A} ^{2n},$ on aura sur-lechamp

$i=p^{2}-aq^{2}.$

Si $\mathrm {A}$ était égal à $2,$ alors, puisque $y$ et $y'$ ne sont pas divisibles par $\mathrm {A} ,$ ils seront nécessairement impairs ; de sorte qu’on aurait $y'^{2}-y^{2}=8m,$ et l’équation (B) deviendrait

$2^{n+3}m=(xy'+yx')(xy'-yx')\,;$

or, les quantités $xy'+yx',\ xy'-yx'$ ne peuvent être divisibles en même temps par $4,$ parce qu’il faudrait que leur somme $2xy'$ le fût aussi, et que, par conséquent, $x$ ou $y'$ fût divisible par $2,$ ce qui ne se peut. Donc il faudra nécessairement que l’une de ces quantités soit divisible par $2^{n+2},$ et par conséquent aussi par $\mathrm {A} ^{n}\,;$ donc, etc.

On pourra abréger et simplifier de la même manière l’analyse des cas où

$\mathrm {R} =\mathrm {A} ^{m}\mathrm {B} ^{n}\mathrm {C} ^{r}\ldots ,$

$\mathrm {A,B,C} \ldots$ étant des nombres premiers.

11. Si l’on avait ces trois équations :

$\mathrm {R} =x^{2}-ay^{2},\quad \mathrm {R} '=x'^{2}-ay'^{2}\quad {\text{et}}\quad \mathrm {R} ''=x''^{2}-ay''^{2},$