par
par conséquent leur somme
le serait aussi ; donc, à cause de
premier et différent de
il faudrait que
ou
fût divisible par
mais, si
était divisible par
il faudrait, en vertu de l’équation
que
le fût aussi,
étant, par hypothèse, premier à
ainsi
et
ne seraient pas premiers entre eux, ce qui répugne à la nature de ces quantités (no 1).
On prouvera de même, par l’équation
que
ne saurait être divisible par
Donc il faudra nécessairement que l’on ait
![{\displaystyle xy'\pm yx'=q\mathrm {A} ^{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7435abce8e3ddd7078921de2afd89c3a160bf73)
ce qui réduira l’équation (A) à
![{\displaystyle \mathrm {A} ^{2n}=(xx'\pm ayy')^{2}-aq^{2}\mathrm {A} ^{2n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae7a17a98308904ad9b1b7ca5d50b6a6c166933d)
par laquelle on voit que
sera aussi divisible par
ainsi, faisant
![{\displaystyle xx'\pm ayy'=p\mathrm {A} ^{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e35010667a3ce09930de97321ec921c96c3b47fb)
et divisant l’équation par
on aura sur-lechamp
![{\displaystyle i=p^{2}-aq^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39dfca46b82444d37588eca2e813729416983f4b)
Si
était égal à
alors, puisque
et
ne sont pas divisibles par
ils seront nécessairement impairs ; de sorte qu’on aurait
et l’équation (B) deviendrait
![{\displaystyle 2^{n+3}m=(xy'+yx')(xy'-yx')\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eff29c28e7513955eb5d29d2dc67d63ca139c562)
or, les quantités
ne peuvent être divisibles en même temps par
parce qu’il faudrait que leur somme
le fût aussi, et que, par conséquent,
ou
fût divisible par
ce qui ne se peut. Donc il faudra nécessairement que l’une de ces quantités soit divisible par
et par conséquent aussi par
donc, etc.
On pourra abréger et simplifier de la même manière l’analyse des cas où
![{\displaystyle \mathrm {R} =\mathrm {A} ^{m}\mathrm {B} ^{n}\mathrm {C} ^{r}\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9ef50a45e68f3f079425cea410148ca04185eed)
étant des nombres premiers.
11. Si l’on avait ces trois équations :
![{\displaystyle \mathrm {R} =x^{2}-ay^{2},\quad \mathrm {R} '=x'^{2}-ay'^{2}\quad {\text{et}}\quad \mathrm {R} ''=x''^{2}-ay''^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8753da84fdad284f645354981d825fd626b2b9fe)