semblable pour pouvoir résoudre le problème. Pour la trouver, on continuera à multiplier ensemble deux à deux les autres équations du no 4, et il est facile de voir, par ce que nous venons de montrer, que si ces combinaisons ne donnent pas quelques-uns des cas qui ont déjà été résolus, elles donneront nécessairement à la fin deux équations de cette forme :
étant l’un des quatre facteurs de et et étant premiers à
En effet, puisque le nombre des équations du no 4 est infini, et que le nombre des cas qui peuvent arriver est limité, il est évident que le même cas devra arriver une infinité de fois ; de sorte que, si l’on ne trouve pas quelques-uns des cas que nous avons déjà résolus, on trouvera nécessairement deux, et même une infinité de cas tels que,
mais il suffira d’en avoir deux pour que le problème soit résoluble.
On aura donc, par le moyen des deux équations dont il s’agit,
| (I) |
| (K) |
Donc il faudra, en vertu de l’équation (K), que l’une ou l’autre des quantités soit divisible par ou que toutes les deux soient divisibles à la fois par mais, dans ce dernier cas, il faudra aussi que leur somme soit divisible par ce qui ne peut être à moins que ne soit égal à Or, supposant on aura ce qui réduira l’équation (K) à
d’où l’on voit que si l’une des quantités est divisible seulement par l’autre le sera nécessairement par et par conséquent aussi par
Le cas où et seraient toutes deux divisibles par ne saurait avoir lieu, à cause que leur somme ne peut jamais être divi-
