Qu’on prenne donc cinq des équations du no 4, et qu’on les multiplie ensemble deux à deux pour avoir sept produits différents (on pourrait à la vérité en avoir dix, mais il suffit ici d’en considérer sept), on aura nécessairement par ce moyen ou une équation de cette forme :
![{\displaystyle 1=p^{2}-aq^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2ff02461e101f5fa50e7bc56928eca569a94de1)
laquelle résout le problème ; ou au moins deux équations de cette forme :
![{\displaystyle \mathrm {A} ^{2}=p^{2}-aq^{2},\qquad \mathrm {A} ^{2}=p'^{2}-aq'^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a73bd0fd36b7477f1a41ceac26562adeecf6cf27)
(
étant l’un quelconque des facteurs de
), et le problème se résoudra comme dans le no 7 ; ou enfin deux équations de la forme
![{\displaystyle \mathrm {A^{2}B^{2}} =p^{2}-aq^{2},\qquad \mathrm {A^{2}B^{2}} =p'^{2}-aq'^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8997492fd3731484c7b126fb2bb99eb839706354)
(
et
étant deux quelconques des quatre facteurs de
) ; et, dans ce dernier cas, on prouvera aisément que les quatre quantités
et
seront premières à
et ![{\displaystyle \mathrm {B} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/290ba95cad121a2f562a2a768db14d469a248087)
Or, les équations
![{\displaystyle \mathrm {A^{2}B^{2}} =p^{2}-aq^{2}\quad {\text{et}}\quad \mathrm {A^{2}B^{2}} =p'^{2}-aq'^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8962679ccbb932053a8f2260f9925075b0efcec1)
donnent ces deux-ci :
(G)
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|
|
(H)
|
|
|
Et il faudra, en vertu de l’équation (H), que l’une ou l’autre des quantités
soit divisible par
ou que l’une le soit seulement par
ou par
et l’autre par
ou par
ou que l’une et l’autre le soient par
ou enfin que l’une le soit seulement par
et l’autre par
ce qui donne, comme l’on voit, quatre cas différents.
Dans le premier cas on fera
![{\displaystyle pq'\pm qp'=s\mathrm {A^{2}B^{2}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5919218dd23b7b3699efd3d2a5d131af7d00c699)
et l’équation (G) deviendra
![{\displaystyle \mathrm {A^{4}B^{4}} =(pp'\pm aqq')^{2}-as^{2}\mathrm {A^{4}B^{4}} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77ae3d25d1fe9bd6855ef5a4fd24662cbd8c5496)