ce qui réduit l’équation (E) à celle-ci :
![{\displaystyle \mathrm {A} ^{2}=(pp'\pm aqq')^{2}-as^{2}\mathrm {A} ^{4},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3beec01f93d4369cd3b91e2d3f1b622db797d613)
par laquelle on voit que
doit aussi être divisible par
de manière qu’on aura
![{\displaystyle pp'\pm aqq'=r\mathrm {A} ^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aedfd3f3331f4ced973b2b167e844308cfcd2bff)
et par conséquent, en divisant toute l’équation par ![{\displaystyle \mathrm {A} ^{4},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b7b803b90fca81c168e72c491585b96a22c6b57)
![{\displaystyle 1=r^{2}-as^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a72c3f9f557a07f1f87edaff60527cfeebf269ae)
Si
était égal à
alors, comme
et
sont premiers à
ils seraient tous deux impairs ; par conséquent leurs carrés seraient chacun un multiple de
augmenté d’une unité ; de sorte que la différence de ces carrés serait nécessairement un multiple de
on aurait donc
![{\displaystyle q'^{2}-q^{2}=8m,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cabd61727c05c9b08a1ca28d5e8ca5231db1fe51)
et l’équation (F) deviendrait, à cause de ![{\displaystyle \mathrm {A} =2,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4466d8f99d20ef089b9f2a24051ed3aa7996dbfb)
![{\displaystyle 32m=(pq'+qp')(pq'-qp')\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc46f286419ed1320edaf391f4cb4b8fac091895)
ainsi il faudrait nécessairement que l’une ou l’autre des quantités
fût divisible par
c’est-à-dire par
comme dans le cas précédent.
8. 3o Soit
étant des nombres premiers, il faudra donc, en vertu de l’équation (B), que l’une ou l’autre des quantités
soit divisible par
ce qui rentre dans le cas du no 6 ; ou bien que l’une soit divisible par
et l’autre par
Soit donc
![{\displaystyle xy'\pm yx'=q\mathrm {BC} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bef27057a561a35a364b2f5b376373440908f16)
et l’équation (A) deviendra
![{\displaystyle \mathrm {A^{2}B^{2}C^{2}} =(xx''\pm ayy')^{2}-aq^{2}\mathrm {B^{2}C^{2}} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d17b7f9a264bebe9b20826f44d1bb1b092ec0834)
de sorte qu’il faudra aussi que
soit divisible par
donc,