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par hypothèse, $p$ ne le sera pas, de sorte que $\mathrm {A} ,p$ et $q$ seront premiers entre eux.

Qu’on prenne maintenant une autre quelconque des équations du n^o 4, comme $\mathrm {R} =x''^{2}-ay''^{2},$ et qu’on la combine avec l’équation $\mathrm {R} =x^{2}-ay^{2},$ en opérant sur ces deux équations comme nous venons de faire sur les équations $\mathrm {R} =x^{2}-ay^{2}$ et $\mathrm {R} =x'^{2}-ay'^{2}\,;$ on aura des résultats analogues aux précédents, dont on tirera par conséquent des conclusions semblables. Ainsi il faudra que l’une ou l’autre de ces quantités $xy''+yx'',\ xy''-yx''$ soit divisible par $\mathrm {R} ,$ ce qui se réduit au cas du n^o 6 ; ou bien que l’une le soit par $\mathrm {A} ,$ l’autre par $\mathrm {B} .$ Donc, faisant dans ce dernier cas

$xy''\pm yx''=q'\mathrm {B} ,$

et ensuite

$xx''\pm ayy''=p'\mathrm {B} ,$

on parviendra de même à l’équation

(D)

$\mathrm {A} ^{2}=p'^{2}-aq'^{2},$

dans laquelle $\mathrm {A} ,p'$ et $q'$ seront aussi premiers entre eux.

Or les deux équations (C) et (D) donneront ces deux-ci :

(E)

$\mathrm {A} ^{4}=(pp'\pm aqq')^{2}-a(pq'\pm qp')^{2},$

(F)

$\mathrm {A} ^{2}\left(q'^{2}-q^{2}\right)=(pq'+qp')(pq'-qp').$

Ainsi, à cause que $\mathrm {A}$ est un nombre premier, il faudra, en vertu de l’équation (F), que l’une ou l’autre des quantités $pq'+qp',\ pq'-qp'$ soit divisible par $\mathrm {A} ^{2},$ ou bien que l’une et l’autre soient divisibles en même temps par $\mathrm {A} ^{2}\,;$ mais alors il faudrait aussi que leur somme $2pq'$ fût divisible par $\mathrm {A} ,$ ce qui ne peut être, à cause que ni $p,$ ni $q'$ n’est divisible par $\mathrm {A} ,$ à moins que $\mathrm {A}$ ne soit égal à $2.$

Supposons d’abord que $\mathrm {A}$ soit différent de $2,$ et l’on aura nécessairement

$pq'\pm qp'=s\mathrm {A} ^{2},$