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on aura

${\begin{aligned}&\delta '\ >0\quad {\text{et}}\quad <{\frac {1}{n'}},\\&\delta ''>0\quad {\text{et}}\quad <{\frac {1}{n''}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

3. Considérons maintenant la formule $x^{2}-ay^{3},$ et substituons successivement dans cette formule les nombres $\mathrm {M,M',M''} ,\ldots ,$ à la place de $x,$ et les nombres correspondants $\mathrm {N,N',N''} ,\ldots ,$ à la place de $y,$ en nommant $\mathrm {Z,Z',Z''} ,\ldots ,$ les quantités qui en résultent ; nous aurons d’abord

$\mathrm {M} ^{2}-a\mathrm {N} ^{2}=\mathrm {Z} .$

mais $a=\left(\mathrm {\frac {M-\Delta }{N}} \right)^{2},$ donc

$\mathrm {Z=2M\Delta -\Delta ^{2}} \,;$

donc, puisque $\Delta >0$ et $<{\frac {1}{\mathrm {N} }},$ on aura aussi $Z>0$ et $<\mathrm {\frac {2M}{N}} \,;$ on aura de même

$\mathrm {Z'=M'^{2}} -a\mathrm {N} '^{2}=2\mathrm {M} '\Delta '-\Delta '^{2},$

et par conséquent

$Z'>0\quad {\text{et}}\quad <\mathrm {\frac {2M'}{N'}} ,$

et l’on prouvera de la même manière que

${\begin{array}{lcl}\mathrm {Z''=M''^{2}} -a\mathrm {N} ''^{2}>0&\mathrm {et} &<\mathrm {\cfrac {2M''}{N''}} ,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &&\ldots \ldots .\end{array}}$

Mais les fractions $\mathrm {{\frac {M}{N}},{\frac {M'}{N'}},{\frac {M''}{N''}}} ,\ldots ,$ forment une suite décroissante et convergente vers ${\sqrt {a}}\,;$ donc les nombres $\mathrm {Z,Z',Z''}$ qui résultent de la substitution de $\mathrm {M,M',M''} ,\ldots ,$ à la place de $x,$ et de $\mathrm {N,N',N''} ,\ldots ,$ à la place de $y$ dans la formule $x^{2}-ay^{2},$ et qui sont par conséquent tous entiers, seront aussi nécessairement tous positifs et moindres que $\mathrm {\frac {2M}{N}} .$ Or ces nombres $\mathrm {Z,Z',Z''} ,\ldots ,$ sont en nombre infini, parce que le nombre des fractions $\mathrm {{\frac {M}{N}},{\frac {M'}{N'}},{\frac {M''}{N''}}} ,\ldots ,$ est infini ; donc, puisqu’il n’y a qu’un