on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\delta '\ >0\quad {\text{et}}\quad <{\frac {1}{n'}},\\&\delta ''>0\quad {\text{et}}\quad <{\frac {1}{n''}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc52b7852ee34865be9dd63ecb66e4527944c3aa)
3. Considérons maintenant la formule
et substituons successivement dans cette formule les nombres
à la place de
et les nombres correspondants
à la place de
en nommant
les quantités qui en résultent ; nous aurons d’abord
![{\displaystyle \mathrm {M} ^{2}-a\mathrm {N} ^{2}=\mathrm {Z} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce68ceea04979d41139855267a2cbd767fd80db6)
mais
donc
![{\displaystyle \mathrm {Z=2M\Delta -\Delta ^{2}} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/318885956191988a74775cf7e21ed1f457c38cb9)
donc, puisque
et
on aura aussi
et
on aura de même
![{\displaystyle \mathrm {Z'=M'^{2}} -a\mathrm {N} '^{2}=2\mathrm {M} '\Delta '-\Delta '^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4eaacf26f78ee4ebdf88863e7e0dca96b2314af1)
et par conséquent
![{\displaystyle Z'>0\quad {\text{et}}\quad <\mathrm {\frac {2M'}{N'}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8126ead9541854ec7d1e5a06b08cc1fede57a0b7)
et l’on prouvera de la même manière que
![{\displaystyle {\begin{array}{lcl}\mathrm {Z''=M''^{2}} -a\mathrm {N} ''^{2}>0&\mathrm {et} &<\mathrm {\cfrac {2M''}{N''}} ,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &&\ldots \ldots .\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/841a37149a7e0b0ccde9ea11d72464be7515b83a)
Mais les fractions
forment une suite décroissante et convergente vers
donc les nombres
qui résultent de la substitution de
à la place de
et de
à la place de
dans la formule
et qui sont par conséquent tous entiers, seront aussi nécessairement tous positifs et moindres que
Or ces nombres
sont en nombre infini, parce que le nombre des fractions
est infini ; donc, puisqu’il n’y a qu’un