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retranche les produits l’un de l’autre, on aura dans toute l’étendue de la série

${\begin{aligned}1\ n\quad -0\ \ m\,\ \ &=1,\\\mathrm {M} \ n\ \ -\mathrm {N} \ m\,\ \ &=1,\\\mathrm {M} \ n'\ -\mathrm {N} \ m'\ &=1,\\\mathrm {M} 'n'\,-\mathrm {N} 'm'\ &=1,\\\mathrm {M} 'n''-\mathrm {N} 'm''&=1,\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots .\end{aligned}}$

d’où l’on voit que les nombres $m,n,\mathrm {M,N} ,m',n',\ldots ,$ ne peuvent avoir d’autre diviseur commun que l’unité, et qu’ainsi les fractions dont il s’agit sont toutes réduites à leurs moindres termes.

2^o Cela posé, puisque ${\sqrt {a}}<\mathrm {\frac {M}{N}}$ et $>{\frac {m'}{n'}},$ si l’on fait ${\sqrt {a}}=\mathrm {\frac {M-\Delta }{N}} ,$ on aura $\Delta >0,$ et $\mathrm {\frac {M-\Delta }{N}} >{\frac {m'}{n'}}\,;$ donc ${\frac {\Delta }{\mathrm {N} }}<\mathrm {\frac {M}{N}} -{\frac {m'}{n'}}<{\frac {1}{\mathrm {N} n'}},$ à cause de $\mathrm {M} n'-\mathrm {N} m'=1\,:$ donc $\Delta <{\frac {1}{n'}},$ et comme $n'>\mathrm {N} ,$ on aura à plus forte raison $\Delta <{\frac {1}{\mathrm {N} }}.$ En supposant de même

${\sqrt {a}}=\mathrm {\frac {M'-\Delta '}{N'}} =\mathrm {\frac {M''-\Delta ''}{N''}} ,\ldots ,$

on prouvera que

${\begin{aligned}&\Delta '\ >0\quad {\text{et}}\quad <{\frac {1}{\mathrm {N} '}},\\&\Delta ''>0\quad {\text{et}}\quad <{\frac {1}{\mathrm {N} ''}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Pareillement, à cause de ${\sqrt {a}}>{\frac {m}{n}}$ et $<\mathrm {\frac {M}{N}} ,$ si l’on fait ${\sqrt {a}}={\frac {m+\delta }{n}}$ on aura $\delta >0$ et ${\frac {\delta }{n}}<\mathrm {\frac {M}{N}} -{\frac {m}{n}}<{\frac {n}{\mathrm {N} n}}\,:$ donc aussi, à cause de $\mathrm {N} >n,$ $\delta <{\frac {1}{n}}\,;$ et l’on prouvera de la même manière qu’en faisant

${\sqrt {a}}={\frac {m'+\delta '}{n}}={\frac {m''+\delta ''}{n''}},\ldots ,$