retranche les produits l’un de l’autre, on aura dans toute l’étendue de la série
![{\displaystyle {\begin{aligned}1\ n\quad -0\ \ m\,\ \ &=1,\\\mathrm {M} \ n\ \ -\mathrm {N} \ m\,\ \ &=1,\\\mathrm {M} \ n'\ -\mathrm {N} \ m'\ &=1,\\\mathrm {M} 'n'\,-\mathrm {N} 'm'\ &=1,\\\mathrm {M} 'n''-\mathrm {N} 'm''&=1,\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26d5e4771b1b4df549ae450b76aa7dd72be73032)
d’où l’on voit que les nombres
ne peuvent avoir d’autre diviseur commun que l’unité, et qu’ainsi les fractions dont il s’agit sont toutes réduites à leurs moindres termes.
2o Cela posé, puisque
et
si l’on fait
on aura
et
donc
à cause de
donc
et comme
on aura à plus forte raison
En supposant de même
![{\displaystyle {\sqrt {a}}=\mathrm {\frac {M'-\Delta '}{N'}} =\mathrm {\frac {M''-\Delta ''}{N''}} ,\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a1ac3ec3a5de3e0bd38fdf85689479826e63d75)
on prouvera que
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\Delta '\ >0\quad {\text{et}}\quad <{\frac {1}{\mathrm {N} '}},\\&\Delta ''>0\quad {\text{et}}\quad <{\frac {1}{\mathrm {N} ''}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fd92008c614165bdf0f9a0169f6b04b73a42a71)
Pareillement, à cause de
et
si l’on fait
on aura
et
donc aussi, à cause de
et l’on prouvera de la même manière qu’en faisant
![{\displaystyle {\sqrt {a}}={\frac {m'+\delta '}{n}}={\frac {m''+\delta ''}{n''}},\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f1061dc7566abb7f5692b000ce20cb6fea4fd12)