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Donc : 1^o si l’on fait

${\begin{aligned}\mathrm {M} &=\mathrm {n} \left({\mathfrak {Q}}_{5}+{\frac {4hh'}{\mathrm {H^{2}-K'^{2}} }}{\mathfrak {A}}_{3}-{\frac {2h\mathrm {H} }{\mathrm {H^{2}-K'^{2}} }}{\mathfrak {P}}_{7}\right),\\\mathrm {N} &=\mathrm {n} \left[{\frac {2h}{\mathrm {H^{2}-K'^{2}} }}{\mathfrak {P}}_{3}-{\frac {4hh'\mathrm {H} }{\mathrm {\left(H^{2}-K'^{2}\right)K'^{2}} }}{\mathfrak {A}}_{3}+{\frac {2h'}{\mathrm {K} '^{2}}}{\mathfrak {B}}_{2}\right],\end{aligned}}$

et de même

${\begin{aligned}\mathrm {M} '&=\mathrm {n} '\left({\mathfrak {Q}}_{5}+{\frac {4h'h}{\mathrm {H^{2}-K'^{2}} }}{\mathfrak {A}}'_{3}-{\frac {2h'\mathrm {H} }{\mathrm {H^{2}-K'^{2}} }}{\mathfrak {P}}'_{7}\right),\\\mathrm {N} '&=\mathrm {n} '\left[{\frac {2h'}{\mathrm {H^{2}-K'^{2}} }}{\mathfrak {P}}'_{3}-{\frac {4h'h\mathrm {H} }{\mathrm {\left(H^{2}-K'^{2}\right)K'^{2}} }}{\mathfrak {A}}h_{3}+{\frac {2h}{\mathrm {K} '^{2}}}{\mathfrak {B}}'_{2}\right],\end{aligned}}$

ensuite

$\mathrm {P} ={\frac {\mathrm {M+N} h'}{4h}},\qquad \mathrm {P} '={\frac {\mathrm {M'+N'} h}{4h'}},$

et qu’on appelle $m_{1},m_{2}$ les racines de l’équation

$(m-k)(m-k')-\mathrm {PP} '=0,$

en sorte que

${\begin{aligned}m_{1}&={\frac {k+k'+{\sqrt {(k-k')^{2}+4\mathrm {PP} '}}}{2}},\\m_{2}&={\frac {k+k'-{\sqrt {(k-k')^{2}+4\mathrm {PP} '}}}{2}},\end{aligned}}$

on trouvera (n^os 62 et 65) que la première valeur approchée de $\mathrm {y}$ sera de cette forme :

$(v)\left\{{\begin{aligned}y&={\frac {(m_{1}-k')\mathrm {F+PF'} }{m_{1}-m_{2}}}\cos(h+im_{1})t+{\frac {(m_{1}-k')\mathrm {G+PG'} }{m_{1}-m_{2}}}\sin(h+im_{1})t\\&-{\frac {(m_{2}-k')\mathrm {F+PF'} }{m_{1}-m_{2}}}\cos(h+im_{2})t-{\frac {(m_{2}-k')\mathrm {G+PG'} }{m_{1}-m_{2}}}\sin(h+im_{2})t.\end{aligned}}\right.$

2^o Si l’on fait de même

$\mathrm {Q} ={\frac {\mathrm {n} {\mathfrak {B}}_{5}}{4h}},\qquad \mathrm {Q} '={\frac {\mathrm {n} '{\mathfrak {B}}'_{5}}{4h'}},$

et qu’on nomme $n_{1},n_{2}$ les racines de l’équation

$(n-l)(n-l')-\mathrm {QQ} '=0,$