donc : 1o
d’où
![{\displaystyle \int \mathrm {y} 'dt=-{\frac {d\mathrm {y} '}{\mathrm {K} '^{2}dt}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdee73bec0f94b3b7139e5c3d37b448749e020fa)
2o
mais
![{\displaystyle \int {\frac {d^{2}\mathrm {y} '}{dt^{2}}}\sin \mathrm {H} tdt={\frac {d\mathrm {y} '}{dt}}\sin \mathrm {H} t-\mathrm {Hy} '\cos \mathrm {H} t-\mathrm {H} ^{2}\int \mathrm {y} '\sin \mathrm {H} tdt\,:}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fece7b10b6d97e28a19f7fc21d998cb4bd1962a)
donc
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {y} '}{dt}}\sin \mathrm {H} t=\mathrm {Hy} '\cos \mathrm {H} t+\mathrm {\left(K'^{2}-H^{2}\right)} \int \mathrm {y} '\sin \mathrm {H} tdt\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38067de2caa284e85322ffa43000efa1c9cf0af7)
par conséquent
![{\displaystyle \int \mathrm {y} '\sin \mathrm {H} t={\frac {\left({\cfrac {d\mathrm {y} '}{dt}}\sin \mathrm {H} t-\mathrm {H} y'\cos \mathrm {H} t\right)}{\mathrm {H^{2}-K'^{2}} }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2dd2bfda96aaa18defe3e1bebb69e66082fd315)
Donc, substituant ces valeurs dans l’équation précédente, elle deviendra
![{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\mathrm {K^{2}y} +i\mathrm {n} \left[\left({\mathfrak {Q}}_{5}+{\frac {4hh'}{\mathrm {H^{2}-K'^{2}} }}{\mathfrak {A}}_{3}-{\frac {2h\mathrm {H} }{\mathrm {H^{2}-K'^{2}} }}{\mathfrak {P}}_{7}\right)\mathrm {y} '\cos \mathrm {H} t\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ced503412d909c11ef1a98511626a5143914843d)
![{\displaystyle \left.+\left({\frac {2h}{\mathrm {H^{2}-K'^{2}} }}{\mathfrak {P}}_{7}-{\frac {4hh'\mathrm {H} }{\mathrm {\left(H^{2}-K'^{2}\right)K'^{2}} }}{\mathfrak {A}}_{3}+{\frac {2h'}{\mathrm {K} '^{2}}}{\mathfrak {B}}_{2}\right){\frac {d\mathrm {y} '}{dt}}\sin \mathrm {H} t\right]=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a790563dc5aadeeec7179b7087d573e24e17ebf)
Ensuite on aura cette équation en ![{\displaystyle \mathrm {z} \,:}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5de6fa51fe6d0679499f72c1ca22ecc7a3e8298)
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\mathrm {z} }{dt^{2}}}+\mathrm {L^{2}z} +i\mathrm {n} {\mathfrak {B}}_{5}\mathrm {z} '\cos \mathrm {H} t=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a59b0d2e566ee772d1bfb13203f9ff7274ade855)
On trouvera de même des équations semblables en
et
suivant la remarque du no 77, et l’on aura ainsi quatre équations, lesquelles s’intégreront, comme on le voit, par la méthode du no 58.
84. Puisque
(no 85) et
(no 79), et de même
on aura le cas du no 60.