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ces équations seraient identiques d’elles-mêmes ; or c’est précisément ce qui arrive dans notre cas, et c’est là la raison pourquoi il reste deux coefficients indéterminés $\eta$ et $\sigma .$ Au reste il est facile de voir que cet inconvénient ne vient que de ce que nous avons conservé la quantité ${\frac {dydz}{dt^{2}}}$ au lieu d’y substituer sa valeur tirée des équations $(l)$ et $(m),$ comme nous l’avons pratiqué dans le n^o 52. Ainsi il sera très-aisé d’y remédier, et de donner par là à notre méthode toute la généralité dont elle est susceptible.

83. Revenons maintenant à notre sujet, et voyons comment il faut s’y prendre pour intégrer les équations $(t)$ et $(u).$ Pour cela on commencera par mettre dans les expressions de ${\mathfrak {Y}}$ et ${\mathfrak {Z}},$ à la place de $y,z$ et $x$ leurs valeurs approchées $\mathrm {y,z}$ et $-2h\int \mathrm {y} dt$ tirées des équations $(q),$ $(r),$ $(s),$ et de même à la place de $y',z',x'$ les valeurs correspondantes $\mathrm {y',z'}$ et $-2h'\int \mathrm {y} 'dt\,;$ puis on cherchera, par l’intégration, les valeurs de $\mathrm {y,z}$ et de $\mathrm {y',z'} ,$ en y négligeant d’abord tous les termes affectés de $i$ et $\mathrm {n} \,;$ et ces premières valeurs étant ensuite substituées dans ${\mathfrak {Y}}$ et ${\mathfrak {Z}}$ serviront à déterminer plus exactement les mêmes quantités $\mathrm {y,z,y',z'} .$

Or il semble d’abord qu’on pourrait se contenter de prendre pour premières valeurs approchées de $\mathrm {y}$ et $\mathrm {z}$ celles que nous avons trouvées plus haut (n^o 81), savoir

$\mathrm {y} =\Delta \cos(\mathrm {K} t-{\mathfrak {A}}),\qquad \mathrm {z} =\Lambda \sin(\mathrm {L} t-{\mathfrak {E}}),$

et par conséquent aussi

$\mathrm {y} '=\Delta '\cos(\mathrm {K} 't-{\mathfrak {A}}'),\qquad \mathrm {z} '=\Lambda '\sin(\mathrm {L} 't-{\mathfrak {E}}').$

Mais ces valeurs étant substituées dans les quantités ${\mathfrak {Y}}$ et ${\mathfrak {Z}},$ on verra, après le développement des produits des différents sinus et cosinus, qu’on aura des termes de cette forme :

$\cos \left[(ht+ik')t-{\mathfrak {A}}'\right]\quad {\text{et}}\quad \sin \left[ht+il')t-{\mathfrak {E}}'\right],$