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Si l’on n’eût pas supposé $\alpha =0,$ on eût eu

$\mathrm {A} =h^{2}(\alpha ^{2}-\Delta ^{2}),\qquad \mathrm {B} =-h^{2}\Lambda ^{2}$

et

$(h+i\mathrm {f} )\alpha +\mathrm {f} +5ih\left({\frac {1}{2}}\Delta ^{2}+\alpha \right)+{\frac {ih}{2}}\Lambda ^{2}=0\,;$

d’où

$\mathrm {f} =-2h\alpha -ih\alpha ^{2}-{\frac {ih}{2}}\left(5\Delta ^{2}+\Lambda ^{2}\right),$

et l’on trouverait, après les substitutions, que tous les termes des valeurs de $k$ et de $l$ se détruiraient d’eux-mêmes, de manière que ces quantités seraient aussi nulles, comme elles le doivent être dans ce cas : ce qui pourrait servir, s’il en était besoin, à confirmer la bonté de nos formules.

Il ne s’agira donc plus que de mettre, dans les équations du numéro précédent, $\Delta \cos(ht-{\mathfrak {A}})$ à la place de $\mathrm {y} ,$ et $\Lambda \sin(ht-{\mathfrak {E}})$ à la place de $\mathrm {z} ,$ ce qui n’aura aucune difficulté : d’ailleurs ce cas est si connu des Géomètres qu’il serait superflu de nous y arrêter. Je me contenterai d’observer :

1^o Que les absides de l’orbite se trouveront aux points où $d\mathrm {y} =0,$ et par conséquent où $\sin(ht-{\mathfrak {A}})=0,$ ce qui donnera pour l’aphélie

$cos(ht-{\mathfrak {A}})=1\quad {\text{et}}\quad \nu =\Delta -i\Delta ^{2}+{\frac {3}{2}}i^{2}\Delta ^{3},$

et pour le périhélie

$\cos(ht-{\mathfrak {A}})=-1\quad {\text{et}}\quad \nu =-\Delta -i\Delta ^{2}-{\frac {3}{2}}i^{2}\Delta ^{3}\,;$

d’où il s’ensuit que le demi-axe de l’ellipse sera égal à $a\left(1-i^{2}\Delta ^{2}\right),$ et l’excentricité à $i\Delta {\frac {1+{\cfrac {3}{2}}i^{2}\Delta ^{2}}{1-i^{2}\Delta ^{2}}}=i\Delta \left(1+{\frac {5}{2}}i^{2}\Delta ^{2}\right),$ soit $i\Delta$ à très-peu près ;

2^o Que par conséquent l’angle $ht-{\mathfrak {A}}$ représentera l’anomalie moyenne, et ${\mathfrak {A}}$ le lieu de l’aphélie ;

3^o Que les limites, c’est-à-dire les plus grandes latitudes, seront aux points où $d\mathrm {z} ={\frac {2i\mathrm {z} d\mathrm {y} }{1-2i\mathrm {y} }},$ et par conséquent, en négligeant les quantités