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80. Pour mettre nos formules sous une forme plus commode et plus simple, nous ferons $\alpha =0,\ \eta =0$ et $\sigma =-{\frac {11}{2h^{2}}}\,;$ moyennant quoi nous aurons

$y+i\left(y^{2}+{\frac {1}{2}}z^{2}\right)+i^{2}\left({\frac {1}{2}}y^{3}+{\frac {3}{2}}yz^{2}\right)=\mathrm {y}$

et

$z-2i\left(1-{\frac {2i\mathrm {f} }{h}}\right){\frac {dzdy}{h^{2}dt^{2}}}+i^{2}\left({\frac {3}{2}}z^{3}+2zy^{2}-{\frac {11}{2}}y{\frac {dydz}{h^{2}dt^{2}}}\right)=\mathrm {z} \,;$

d’où l’on tire, en ne poussant la précision que jusqu’aux quantités de l’ordre de $i^{2},$

$(q)\qquad y=\mathrm {y} -i\left(\mathrm {y} ^{2}+{\frac {1}{2}}\mathrm {z} ^{2}\right)+i^{2}\left({\frac {3}{2}}\mathrm {y} ^{3}-{\frac {1}{2}}\mathrm {yz} ^{2}-2\mathrm {z} {\frac {d\mathrm {y} d\mathrm {z} }{h^{2}dt^{2}}}\right),$

${\begin{aligned}z=&\mathrm {z} +2i\left(1-{\frac {2i\mathrm {f} }{h}}\right){\frac {d\mathrm {z} d\mathrm {y} }{h^{2}dt^{2}}}\\&-i^{2}\left[{\frac {3}{2}}\mathrm {z} ^{3}+2\mathrm {zy} ^{2}-{\frac {3}{2}}\mathrm {y} {\frac {d\mathrm {z} d\mathrm {y} }{h^{2}dt^{2}}}+2\mathrm {z} {\frac {d\mathrm {z} ^{2}}{h^{2}dt^{2}}}+4{\frac {d\mathrm {y} d(d\mathrm {z} d\mathrm {y} )}{h^{4}dt^{4}}}\right],\end{aligned}}$

ou bien, en mettant pour ${\frac {d^{2}\mathrm {y} }{dt^{2}}}$ et ${\frac {d^{2}\mathrm {z} }{dt^{2}}}$ leurs valeurs approchées $-h^{2}\mathrm {y}$ et $-h^{2}\mathrm {z} ,$

$(r)\qquad \left\{{\begin{aligned}z=&\mathrm {z} +2i\left(1-{\frac {2i\mathrm {f} }{h}}\right){\frac {d\mathrm {z} d\mathrm {y} }{h^{2}dt^{2}}}\\&-i^{2}\left({\frac {3}{2}}\mathrm {z} ^{3}+2\mathrm {zy} ^{2}+{\frac {5}{2}}\mathrm {y} {\frac {d\mathrm {z} d\mathrm {y} }{h^{2}dt^{2}}}+2\mathrm {z} {\frac {d\mathrm {z} ^{2}}{h^{2}dt^{2}}}+4\mathrm {z} {\frac {d\mathrm {y} ^{2}}{h^{2}dt^{2}}}\right).\end{aligned}}\right.$

Et si l’on substitue cette valeur de $y$ dans l’équation $(n)$ du n^o 77, on aura

$(s)\qquad \left\{{\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}=&-2(h+i\mathrm {f} )\mathrm {y} +\mathrm {f} +i(h+i\mathrm {f} )\mathrm {\left(5y^{2}+z^{2}\right)} \\&-i^{2}h\left(13\mathrm {y} ^{3}+2\mathrm {yz} ^{2}-4\mathrm {z} {\frac {d\mathrm {y} d\mathrm {z} }{h^{2}dt^{2}}}\right)-\mathrm {n} \Xi ,\end{aligned}}\right.$

équation facile à intégrer dès qu’on aura les valeurs de $y$ et $z$ en $t.$ On se souviendra seulement qu’il faudra, avant l’intégration, égaler à zéro tous les termes constants.