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$4(h^{2}+2ih\mathrm {f} )-2\mu \left[h^{2}+i(4h\mathrm {f} -\mathrm {g} )\right]+2\nu \left[h^{2}+i(6h\mathrm {f} -2\mathrm {g} )\right](h^{2}+2ih\mathrm {f} )$

$-20i\nu h^{2}(\mathrm {g} -2h\mathrm {f} )-6i\rho (\mathrm {g} -2h\mathrm {f} )+6i\sigma h^{2}(\mathrm {g} -2h\mathrm {f} )+\mu \mathrm {L} ^{2}=0,$

${\begin{aligned}&-2+2\mu -\nu \left[2h^{2}+i(20h\mathrm {f} -8\mathrm {g} )\right]-3i\sigma (\mathrm {g} -2h\mathrm {f} )+\nu \mathrm {L} ^{2}=0,\\&{\frac {3}{2}}\mu h^{2}-6\nu h^{4}-9\pi h^{2}+\pi \mathrm {L} ^{2}=0,\\&-10h^{2}+7\mu h^{2}-20\nu h^{4}-5\rho h^{2}+4\sigma h^{4}+\rho \mathrm {L} ^{2}=0,\\&2-2\mu +16\nu h^{2}+4\rho -5\sigma h^{2}+\sigma \mathrm {L} ^{2}=0,\\&-\Psi -(\mu -2\nu h^{2})z\Phi -\nu {\frac {d\Phi dz}{dt^{2}}}+{\mathfrak {Z}}=0,\end{aligned}}$

par où l’on déterminera les valeurs des coefficients $\mathrm {K} ^{2},\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\varepsilon ,\eta ,$$\mathrm {L} ^{2},\mu ,\nu ,\pi ,\rho ,\sigma ,$ ainsi que celles de ${\mathfrak {Y}}$ et de ${\mathfrak {Z}},$ en ayant soin de pousser les valeurs de $\mathrm {K^{2},L^{2}}$ et $\alpha$ jusqu’aux quantités de l’ordre de $i^{2}$ et $i\mathrm {n} ,$ celles de $\beta ,\gamma ,\mu ,\nu$ jusqu’aux quantités de l’ordre de $i$ et de $\mathrm {n}$ seulement, et enfin de négliger dans les autres toutes les quantités affectées de $i$ et de $\mathrm {n} .$

79. Si l’on regarde la quantité $\alpha$ comme connue, et qu’on s’en serve pour déterminer $\mathrm {g} ,$ on aura

$\mathrm {g} =\alpha \mathrm {K} ^{2}+2h\mathrm {f} -\mathrm {n} {\mathfrak {A}}_{2}+i\left(\mathrm {f} ^{2}-2\beta \mathrm {A} -2\gamma \mathrm {B} \right)+2i^{2}\eta \alpha \mathrm {K} ^{2}\mathrm {B} \,;$

ensuite, supposant

$\mathrm {K} =h+ik\quad {\text{et}}\quad \mathrm {L} =h+il,$

on trouvera

${\begin{aligned}k&=\mathrm {f} +2h\alpha +s{\frac {i}{2h}}\left(4h\mathrm {f} \alpha +15h^{2}\alpha ^{2}-5\mathrm {A-B} \right)+{\frac {\mathrm {n} }{2h}}({\mathfrak {P}}_{1}+2{\mathfrak {A}}_{2}),\\l&=\mathrm {f} +2h\alpha +{\frac {i}{2h}}\left(4h\mathrm {f} \alpha +15h^{2}\alpha ^{2}-5\mathrm {A} -\mathrm {B} \right)+{\frac {\mathrm {n} }{2h}}{\mathfrak {A}}_{4},\end{aligned}}$

$\beta =1+{\frac {1}{2}}\alpha ,\quad \gamma ={\frac {1}{2}}+i\alpha \eta h^{2},\quad \delta ={\frac {1}{2}},\quad \varepsilon ={\frac {3}{2}}+\eta h^{2},$

$\mu =i\left(15+2\sigma h^{2}\right)\alpha ,\quad \nu =-{\frac {2}{h^{2}}}+i\left({\frac {4\mathrm {f} }{h^{3}}}+{\frac {6+\sigma h^{2}}{h^{2}}}\alpha \right),\quad \pi ={\frac {3}{2}},$

$\rho ={\frac {15}{2}}+\sigma h^{2},$

${\begin{aligned}{\mathfrak {Y}}&=\Phi +2i\beta \Phi y+4i\beta \int \Phi dy+4i^{2}\gamma {\mathfrak {B}}_{5}\int (\cos \mathrm {H} t)z'dz,\\{\mathfrak {Z}}&=\Psi +(\mu -2\nu h^{2})\Phi z+\nu {\frac {d\Phi dz}{dt^{2}}}.\end{aligned}}$