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${\begin{aligned}&+i\int y'({\mathfrak {P}}_{7}\sin \mathrm {H} t+{\mathfrak {Q}}_{7}\sin 2\mathrm {H} t+\ldots )dt\\&+i\int (x-x')({\mathfrak {A}}_{3}\cos \mathrm {H} t+{\mathfrak {B}}_{3}\cos 2\mathrm {H} t+\ldots )dt\end{aligned}}$

on aura les équations suivantes :

$(l)\ \ \quad \left\{{\begin{aligned}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+&\left[h^{2}+i\left(+h\mathrm {f} -2\mathrm {g} +3i\mathrm {f} ^{2}+\mathrm {n} {\mathfrak {P}}_{4}\right)\right]y\\+&g-2h\mathrm {f} -i\mathrm {f} ^{2}+\mathrm {n} {\mathfrak {A}}_{2}-3i\left[h^{2}+i\left(4h\mathrm {f-g} \right)\right]y^{2}\\&\qquad -{\frac {3}{2}}i\left(h^{2}+i\mathrm {g} \right)z^{2}+6i^{2}h^{2}y^{3}+3i^{2}h^{2}yz^{2}+\mathrm {n} \Phi =0,\end{aligned}}\right.$

$(m)\quad \left\{{\begin{aligned}{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+&\left[h^{2}+i\left(2h\mathrm {f} +i\mathrm {f} ^{2}+\mathrm {n} {\mathfrak {A}}_{4}\right)\right]z-4i\left(h^{2}+2ih\mathrm {f} \right)zy\\&\qquad +2i{\frac {dzdy}{dt^{2}}}+10i^{2}h^{2}zy^{2}-2i^{2}y{\frac {dzdy}{dt^{2}}}+i\mathrm {n} \Psi =0,\end{aligned}}\right.$

$(n)\qquad \ \ {\frac {dx}{dt}}+2(h+i\mathrm {f} )y-\mathrm {f} -3i(h+i\mathrm {f} )y^{2}+4i^{2}hy^{3}+\mathrm {n} \Xi =0.$

Telles sont les équations du mouvement de Jupiter, en tant qu’il est altéré par l’action de Saturne.

On trouvera des équations semblables pour le mouvement de Saturne dérangé par Jupiter ; il ne faudra pour cela que mettre $x',y',z'$ à la place de $x,y,z,$ et vice versâ, et marquer toutes les autres lettres d’un trait, à l’exception de $\mathrm {H} ,$ laquelle étant égale a $h-h'$ deviendra $h'-h,$ c’est-à-dire simplement négative.

78. Je remarque maintenant que les équations $(l)$ et $(m)$ peuvent se réduire à ces formes plus simples :

${\frac {d^{2}\mathrm {y} }{dt^{2}}}+\mathrm {K^{2}y+n} {\mathfrak {Y}}=0,\quad {\text{et}}\quad {\frac {d^{2}\mathrm {z} }{dt^{2}}}+\mathrm {L^{2}z} +i\mathrm {n} {\mathfrak {Z}}=0,$

en supposant

$\mathrm {y} =y+\alpha +\left(\beta y^{2}+\gamma ^{2}\right)+i^{2}\left(\delta y^{2}+\varepsilon yz^{2}+\eta z{\frac {dydz}{dt^{2}}}\right)$

et

$\mathrm {z} =z+\left(\mu zy+\nu {\frac {dzdy}{dt^{2}}}\right)+i^{2}\left(\pi z^{3}+\rho zy^{2}+\sigma y{\frac {dzdy}{dt^{2}}}\right).$