d’où il résulte encore
On trouvera par les mêmes principes pour le maximum
et par conséquent
7. Si les quantités et évanouissent seules, ou toutes deux, ou une simplement, la seconde condition devient impossible ; si c’est qui évanouit, alors la troisième devient impossible ; car qui est nécessairement négatif à cause de doit toujours se trouver moindre de d’où il suit que ne saurait être un maximum ou un minimum, si prises séparément ou ensemble, comme on voudra, sont égales à zéro. Si par l’évanouissement des termes la différentielle se réduisait à deux variables, ou à une seulement, elle tomberait dans le second cas ou dans le premier, et on devrait suivre les règles données (3 et suiv.). Enfin, si toute la se trouvait égale à zéro, et que la différentielle troisième ne fût pas de même égale à zéro, on serait sûr que la proposée ne pourrait jamais devenir ni un maximum, ni un minimum ; et quand cette différentielle troisième évanouirait avec la seconde, par des transformations semblables à celles que nous avons pratiquées, on pourrait dans la quatrième différentielle distinguer le cas du minimum et du maximum et ceux qui sont inutiles.
8. On peut étendre la même théorie aux fonctions de quatre ou plus variables. Quiconque aura bien saisi l’esprit des réductions que j’ai employées jusqu’ici, pourra sans peine découvrir celles qui conviendront à chaque cas particulier. Au reste, pour ne pas se méprendre dans ces recherches, il faut remarquer que les transformées pourraient bien venir différentes de celles que nous avons données ; mais en examinant la chose de plus près, on trouvera infailliblement que, quelles qu’elles
