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donc on aura, à cause de $d\eta =-{\frac {\eta \sin(\varphi -\omega )}{r\cos(\varphi -\omega )}}d\omega ,$

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}s}{d\varphi ^{2}}}=&\mathrm {\frac {I+J}{D}} \left[{\frac {1+\varepsilon ^{2}}{\left(1+q^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}-{\sqrt {1+q^{2}}}-{\frac {q}{\sqrt {1+q^{2}}}}{\frac {V}{\mathrm {C} -2\int \mathrm {Q} r^{2}d\varphi }}\right]\\&-\eta \cos(\varphi -\omega )+{\frac {\eta d\omega }{d\varphi \cos(\varphi -\omega )}}.\end{aligned}}$

De sorte que l’équation

${\frac {d^{2}s}{d\varphi ^{2}}}+s-{\frac {(\mathrm {I+J} )\left(1+q^{2}\right)^{\frac {3}{2}}+U}{\mathrm {C} -2\int \mathrm {Q} r^{2}d\varphi }}=0$

se changera en ces deux-ci :

${\frac {\eta d\omega }{\cos(\varphi -\omega )d\varphi }}-{\frac {\mathrm {U} +\mathrm {\cfrac {I+J}{D}} \left[2{\cfrac {1+\varepsilon ^{2}}{\left(1+q^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\int \mathrm {Q} r^{2}d\varphi +{\cfrac {q}{\sqrt {1+q^{2}}}}V\right]}{{\cfrac {\mathrm {D} }{1+\varepsilon ^{2}}}-2\int \mathrm {Q} r^{2}d\varphi }}=0,$

${\frac {d\eta }{\eta }}+\operatorname {tang} (\varphi -\omega )d\varphi =0,$

lesquelles serviront à trouver $\eta$ ets $\omega .$

Au reste, dès qu’on aura trouvé $r$ et $q$ en $\varphi ,$ ou bien $r,q$ et $\varphi$ en $t,$ on pourra, si l’on veut, trouver tout de suite les valeurs de $\alpha ,\varepsilon ,\omega$ et $\eta$ car les équations

$q=\varepsilon \sin(\varphi -\omega ),\quad {\frac {dq}{d\varphi }}=\varepsilon \cos(\varphi -\omega )$

donneront

$\varepsilon ={\sqrt {q^{2}+\left({\frac {dq}{d\varphi }}\right)^{2}}},\quad \operatorname {tang} (\varphi -\omega )={\frac {qd\varphi }{dq}}.$

Et de même, les équations

$s=\mathrm {\frac {I+J}{D}} {\sqrt {1+q^{2}}}+\eta \cos(\varphi -\omega ),\quad {\frac {ds}{d\varphi }}=\mathrm {\frac {I+J}{D}} {\frac {qdq}{d\varphi {\sqrt {1+q^{2}}}}}-\eta \sin(\varphi -\omega )$

donneront, en faisant, pour abréger, $\mathrm {S} -\mathrm {\frac {I+J}{D}} {\sqrt {1+q^{2}}}=u,$

$\eta ={\sqrt {u^{2}+\left({\frac {du}{d\varphi }}\right)^{2}}},\quad \operatorname {tang} (\varphi -\omega )=-{\frac {du}{ud\varphi }}.$