Page:Lagrange - Œuvres (1867) vol. 1.djvu/672

$c$ étant une constante arbitraire ; d’où l’on tire

${\frac {d\varphi }{dt}}={\frac {c-\int \mathrm {Q} dt}{r^{2}}}.$

Donc les équations du mouvement de Jupiter seront, à cause de $u=r{\sqrt {1+q^{2}}},$

$(i)\qquad \left\{{\begin{aligned}{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}&-{\frac {\left(c-\int \mathrm {Q} dt\right)^{2}}{r^{3}}}+{\frac {\mathrm {I+J} }{r^{2}\left(1+q^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}+\mathrm {R} =0,\\{\frac {d^{2}q}{dt^{2}}}&+q{\frac {\left(c-\int \mathrm {Q} dt\right)^{2}}{r^{4}}}+{\frac {2dqdr}{rdt^{2}}}+{\frac {\mathrm {P-R} q}{r}}=0,\\{\frac {d\varphi }{dt}}\ &-{\frac {c-\int \mathrm {Q} dt}{r^{2}}}=0.\end{aligned}}\right.$

69. Les équations $(i)$ donneront $r,q$ et $\varphi$ en $t\,;$ d’où l’on connaîtra le lieu de la planète à chaque instant. Si l’on voulait de plus avoir l’orbite qu’elle décrit, on n’aurait qu’à éliminer le temps $t$ au moyen de l’équation

${\frac {d\left(r^{2}d\varphi \right)}{dt^{2}}}+\mathrm {Q} =0,$

laquelle étant multipliée par $2r^{2}d\varphi ,$ et ensuite intégrée, donne

$\left({\frac {r^{2}d\varphi }{dt}}\right)^{2}+2\int \mathrm {Q} r^{2}d\varphi =\mathrm {C} ,$

$\mathrm {C}$ étant une constante arbitraire ; d’où l’on tire

$dt={\frac {r^{2}d\varphi }{\sqrt {\mathrm {C} -2\int \mathrm {Q} r^{2}d\varphi }}}.$

Et cette valeur étant substituée dans les deux premières des équations $(i),$ on aura, en prenant $d\varphi$ constant au lieu de $dt,$ et faisant

${\frac {1}{r}}=s,\quad \mathrm {R} r^{2}+\mathrm {Q} {\frac {dr}{d\varphi }}=U,\quad r^{3}\left(\mathrm {P-R} q+\mathrm {Q} {\frac {dq}{rd\varphi }}\right)=V,$