Page:Lagrange - Œuvres (1867) vol. 1.djvu/671

p. 385 et. 389) ;

${\begin{aligned}&{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-{\frac {rd\varphi ^{2}}{dt^{2}}}+(\mathrm {I+J} ){\frac {r}{u^{3}}}+\mathrm {R} =0,\\&{\frac {d(r^{2}d\varphi )}{dt^{2}}}+\mathrm {Q} =0,\\&{\frac {d^{2}p}{dt^{2}}}+(\mathrm {I+J} ){\frac {p}{u^{3}}}+\mathrm {P} =0,\\&{\frac {d^{2}r'}{dt^{2}}}-{\frac {r'd\varphi '^{2}}{dt^{2}}}+(\mathrm {I+J'} ){\frac {r'}{u'^{3}}}+\mathrm {R} '=0,\\&{\frac {d(r'^{2}d\varphi ')}{dt^{2}}}+\mathrm {Q} '=0,\\&{\frac {d^{2}p'}{dt^{2}}}+(\mathrm {I+J'} ){\frac {p'}{u'^{3}}}+\mathrm {P} '=0,\end{aligned}}$

dont les trois premières représentent le mouvement de Jupiter dérangé par Saturne, et les trois autres celui de Saturne dérangé par Jupiter.

D’où l’on voit que, quand on aura calculé les dérangements de Jupiter, les mêmes formules serviront à calculer ceux de Saturne, puisqu’il n’y aura qu’à changer $r',\varphi ',p',u',\mathrm {J} '$ en $r,\varphi ,p,u,\mathrm {J} ,$ et vice versâ.

68. Puisque $p=rq,$ l’équation

${\frac {d^{2}p}{dt^{2}}}+(\mathrm {I+J} ){\frac {p}{u^{3}}}+\mathrm {P} =0$

deviendra, en divisant par $r,$

${\frac {d^{2}q}{dt^{2}}}+{\frac {2dqdr}{rdt^{2}}}+q{\frac {d^{2}r}{rdt^{2}}}+(\mathrm {I+J} ){\frac {q}{u^{3}}}+{\frac {\mathrm {P} }{r}}=0,$

et, mettant au lieu de ${\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}$ sa valeur tirée de la première équation, on aura, après avoir effacé ce qui se détruit,

${\frac {d^{2}q}{dt^{2}}}+q{\frac {d\varphi ^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {2dqdr}{rdt^{2}}}+{\frac {\mathrm {P-R} q}{r}}=0.$

Ensuite l’équation, ${\frac {d(r^{2}d\varphi )}{dt^{2}}}+\mathrm {Q} =0$ donnera

${\frac {r^{2}d\varphi }{dt}}=c-\int \mathrm {Q} dt,$