Page:Lagrange - Œuvres (1867) vol. 1.djvu/670

par le rayon $r,$ pendant le temps $t,$ et $q$ la tangente de la latitude héliocentrique de Jupiter.

Soient de même $\mathrm {J} '$ la masse de Saturne, $r'$ le rayon vecteur de son orbite réduit au plan de l’écliptique, $\varphi '$ l’angle décrit par ce rayon durant le même temps $t,$ et $q'$ la tangente de la latitude héliocentrique de Saturne.

Enfin, soient la perpendiculaire menée du centre de Jupiter sur le plan de l’écliptique $p,$ la perpendiculaire menée du centre de Saturne sur le même plan $p',$ la distance de Jupiter au Soleil, c’est-à-dire le rayon mené du Soleil à Jupiter, $u,$ la distance de Saturne au Soleil $u',$ et la distance de Jupiter à Saturne $v,$ en sorte que

$p-rq,\qquad p'=r'q',\quad u={\sqrt {r^{2}+p^{2}}}=r{\sqrt {1+q^{2}}},\quad u'={\sqrt {1+q'^{2}}},$

et

${\begin{aligned}v&={\sqrt {\left[r\sin(\varphi -\varphi ')\right]^{2}+\left[r'-r\cos(\varphi -\varphi ')\right]^{2}+(p-p')^{2}}}\\&={\sqrt {r^{2}\left(1+q^{2}\right)-2rr'\left[\cos(\varphi -\varphi ')+qq'\right]+r^{2}\left(1+q'^{2}\right)}}\end{aligned}}$

et supposant

${\begin{aligned}\mathrm {R} \ =&\mathrm {J} '\left[{\frac {r-r'\cos(\varphi -\varphi ')}{v^{3}}}+{\frac {r'\cos(\varphi -\varphi ')}{u'^{3}}}\right],\\\mathrm {Q} \ =&\mathrm {J} '\left({\frac {r'}{v^{3}}}-{\frac {r'}{u'^{3}}}\right)r\sin(\varphi -\varphi '),\\\mathrm {P} \ =&\mathrm {J} '\left({\frac {p-p'}{v^{3}}}+{\frac {p'}{u'^{3}}}\right),\\\mathrm {R} '=&\mathrm {J} \ \left[{\frac {r-r'\cos(\varphi '-\varphi )}{v^{3}}}+{\frac {r\cos(\varphi '-\varphi )}{u^{3}}}\ \right],\\\mathrm {Q} '=&\mathrm {J} \ \left({\frac {r}{v^{3}}}-{\frac {r}{u^{3}}}\right)r'\sin(\varphi '-\varphi ),\\\mathrm {P} '=&\mathrm {J} \ \left({\frac {p'-p}{v^{3}}}+{\frac {p}{u^{3}}}\right),\end{aligned}}$

on aura les six équations suivantes (voyez les Articles XIV et XVI du Mémoire intitulé : Application de la méthode précédente, etc.,