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et qu’on fasse

${\begin{aligned}\Theta =&{\frac {\mathrm {A} }{h^{2}-a^{2}}}\mathrm {P} +{\frac {\mathrm {B} }{h^{2}-b^{2}}}\mathrm {Q} +{\frac {\mathrm {C} }{h^{2}-c^{2}}}\mathrm {R} +\ldots ,\\\Theta '=&{\frac {\mathrm {A} '}{h'^{2}-a'^{2}}}\mathrm {P} '+{\frac {\mathrm {B} '}{h'^{2}-b'^{2}}}\mathrm {Q} '+{\frac {\mathrm {C} '}{h'^{2}-c'^{2}}}\mathrm {R} '+\ldots ,\\\end{aligned}}$

et de plus

$\mathrm {F} =f-\Lambda ,\quad \mathrm {G} =g-\Gamma ,\quad \mathrm {F} '=f'-\Lambda ',\quad \mathrm {G} '=g'-\Gamma '$

$(\Lambda ,\Gamma ;\Lambda '$ et $\Gamma '$ étant les valeurs de $\Theta ,{\frac {d\Theta }{dt}},\Theta '$ et ${\frac {d\Theta '}{dt}},$ lorsque $t=0$), la formule $(g)$ du n^o 62 donnera, en négligeant les termes de l’ordre de $i,$

$(h)\left\{{\begin{aligned}y&=\left[{\frac {m_{1}-k'}{m_{1}-m_{2}}}\quad \ \mathrm {F} +{\frac {\mathrm {M+N} h'}{4h'(m_{1}-m_{2})}}\ \ \,\mathrm {F} '\right]\cos \left[(h+im_{1})t\right]\\&+\left[{\frac {m_{1}-k'}{h(m_{1}-m_{2})}}\mathrm {G} +{\frac {\mathrm {M+N} h'}{4hh'(m_{1}-m_{2})}}\mathrm {G} '\right]\sin \left[(h+im_{1})t\right]\\&-\left[{\frac {m_{2}-k'}{m_{1}-m_{2}}}\quad \ \ \mathrm {F} +{\frac {\mathrm {M+N} h'}{4h'(m_{1}-m_{2})}}\ \ \,\mathrm {F} '\right]\cos \left[(h+im_{2})t\right]\\&-\left[{\frac {m_{2}-k'}{h(m_{1}-m_{2})}}\mathrm {G} +{\frac {\mathrm {M+N} h'}{4hh'(m_{1}-m_{2})}}\mathrm {G} '\right]\sin \left[(h+im_{2})t\right]+\Theta .\end{aligned}}\right.$

Par là on aura la valeur de $y$ lorsque les fonctions $T$ et $\mathrm {T} '$ seront exprimées par des suites quelconques de différents sinus et cosinus d’angles multiples de $t.$

Il faut observer que si $a$ était égal ou presque égal à $h,$ il ne serait pas permis de négliger les termes affectés de $i$ dans l’expression de $\theta ,$ et l’on trouverait alors dans la valeur de $y$ des termes dont les coefficients seraient très-grands ; il en faudra dire autant du cas où $a'$ ne serait que très-peu différent de $h'\,;$ nous en laissons le détail au Lecteur.

Mais, si $a$ était exactement égal à $h+im,$ le dénominateur $a^{2}-(h+im)^{2}$ de l’expression de $\theta$ deviendrait égal à zéro, et comme cette quantité n’est point infinie, le numérateur correspondant serait aussi égal à zéro dans ce cas-là ; faisant donc

$h+im=a+\omega ,$